nnn11111， ?x????????n2nk?1n?kk?1n?kk?1?n?k?k?1n?kn11n1??而?，于是
kn?knk?1k?11?n1111n1lim??lim???dx?ln2，
01?xn??n??nkn?kk?1k?11?nnn由夹逼定理知limxn?ln2。
n??第十一题证明：设函数f?x??x?ln2x?2klnx?1故要证?x?1?x?ln2x?2klnx?1?0，
?x?0?，
??只需证：当0?x?1时，f?x??0；当1?x时，f?x??0。
2lnx2k1???x?2lnx?2k?。 xxx2x?2命：??x??x?2lnx?2k，则???x??1??。
xx显然：f??x??1?当x = 2时，???x??0，x = 2为唯一驻点。又????x??21?????2??0，所以x = 2为??x?的唯一极小值点，故，22x??2??2?1?ln2??2k?2?k??ln2?1???0为??x?的最小值(x > 0)，即当x > 0时f??x??0，从而f?x?严格单调递增。
又因f?1??0，所以当0?x?1时，f?x??0；当1?x时，f?x??0
第十二题解：设球心在坐标原点上，半球壳为上半球面，细棒位于正z轴上，则由于对称性，所求引力在x轴与y轴上的投影Fx及Fy均为零。
设k为引力常数，则半球壳对细棒引力在z轴方向的分量为：
Fz?k????ds??a?lz?z1a?x?2?k?????x?y2??2????z?a?l????x2?y2??z?z1?12?2322dz1
2?y2??z?a?12?2???ds?记M1?2πRμ,M2?lρ。在球坐标下计算Fz，得到
Fz?2?k??R2???0?22?R??a?l??2R?a?l?cos??R??a?l?a?l22???R?122?a2?2acos???12?sin??d??kM1M2?R2?a2?R???Rl?a??R????
若半球壳仍为上半球面，但细棒位于负z轴上，则
2GM1M2?R2??a?l??RR2?a2?R??? Fz??Rl?aa?l???2005
到
第一题①1②2x＋y－1=0③211④⑤ 4 第二题BADCA第三题解：要求f(x)?e?xsinx2的值域，只需求出122函数的最大值与最小值即可。注意到：函数f(x)?e?x2sinx2为偶函数，故只需考虑x≥0的情况。为计算方便，命t=x2，得
g(t)?e?tsint,t?0，
显然，g(t)与f(x)有相同的值域。求g(t)的驻点：
g?(t)??e?tsint?e?tcost?e?t(cost?sint)。
命g?(t)?0，得到驻点tk??4?k?(k?0,1,2,?)，其对应的函数值为
g(tk)?e??????k???4??k??2?????k?4?， sin??k?????1?e2?4????2?4显然，当k=2m(m=0,1,2,…)时，g(t2m)?0，其中最大值为g(t0)?e；当k=2m+1 (m=0,1,2,…)时，g(t2m)?0，
25??5??2?42?42?4?e,e其中最小值为g(t1)??e。于是得到函数g(t)的值域，亦即函数f(x)的值域为：??22?2???。 ??第四题解：
?z?1?y?yf1?f2?2g?， ?xyx2??2z?1??1??1??2y?y???y?yf11?f12???yf21?f22??3g?4g2????yy?xx??y??x
2y??1?2y?y2f11?2f12?2f22?3g??4g??yxx??x?2z1?1?1y????x???????f1?y?xf?f?f?xf?f?g?g??22122?212?2223?11??x?yyyyx??y??x
y?1??x?1?f1?2f2?xyf11?3f22?2g??3g??yyxx第五题解：显然u(x,y)?0满足题目条件。下面证明只有u(x,y)?0满足题目条件。
事实上，若u(x,y)不恒等于0，则至少存在一点(x1,y1)?D，使得u(x1,y1)?0，不妨假设u(x1,y1)?0，同时，也必在D内至少存在一点(x0,y0)，使u(x0,y0)?M?0为u(x,y)在D上的最大值。因为u(x,y)在D上可微，所以必有
?u?x(x0,y0)?0??u?y(x0,y0)，于是得到
?u?x然而，由题设知
(x0,y0)??u?y(x0,y0)?0。
?u?u??u(x,y)，因此应有u(x0,y0)?0，这与u(x0,y0)?M?0的假设矛盾；同理可证：?x?yu(x1,y1)?0的情况。
因此可知在D上u(x,y)?0。
第六题解：注意到：被积函数P(x,y)?f(x,y),Q(x,y)?xcosy，由于此积分与路径无关，所以必有
?P?Q?f??cosy，即有?cosy，
?y?y?x从而有f(x,y)?siny?C(x)，代入原积分式，得到
2， ??siny?C(x)dx?xcosydy?t?(0,0)(t,t2)即
?t0C(x)dx??tcosydy?t2，
0tt2?0C(x)dx?tsint2?t2。
将上式两端对t求导，得到： C(t)?sint2?2t2cost2?2t， 即 C(x)?2x?sinx2?2x2cosx2， 从而得到 f(x,y)?siny?2x?sinx2?2x2cosx2
1?x?2??ax?y?ax?1?ay?第七题解：当x≥0时，由?，解得A点的坐标为，故直线OA的方程为。 ?2?1?a?y?1?x?y?a?1?a?于是，平面图形绕x轴一周所得的旋转体体积为：
232??ax?2??axa245???V(a)???1?a????axdx???x?????0??31?a51?a????????152211?a0?2?a215?1?a?52。
352a?1?a??a??1?a?2dV(a)2??(4a?a2)2上式两边对a求导：???(a?0)。 57da15?1?a?15?1?a?2命
dV(a)?0，得到a=4。由于a=4是当a?0时V(a)的唯一驻点，且由问题的实际意义可知存在最大体积，故V(a)在daa=4时取最大值。其最大体积为：
V(4)??2?4215?1?4?52?325?
1875第八题解：设(X,Y,Z)为?上任意一点，则?的方程为
xXyY??zZ?1， 22从而知
?(x,y,z)????x2y2?由z?1???2?2??，有
???z??x?x?y。 ??z2??4?4?22?12?z?y?，
2222?x?xy??yy????21???21???2??2?2???2?,2?x??z???z??于是 dS?1?????d??????x???y?24?x2?y2?xy??21????2?2??22d?。
所以
2z112?3?222 dS?4?x?yd??d?4?rrdr???????00?(x,y,z)4D42S????第九题证明：方法一（利用积分估值定理）
sinx?cosxsinx?cosxsinx?cosx42命I??2dx?dx?dx， ?222??001?x1?x1?x4对上式右端的第二个积分，取变换t???????2?x，则dx??dt，于是
??I??40sinx?cosxsinx?cosxsinx?cosxcost?sint244dx?dx?dx???41?x2?01?x2?0???2dt1?x21??t??2????????11??4???sinx?cosx??dx??4?sinx?cosx??2200?1?x????1??x????1?x22???????24??xdx
??2??????1??x?????2?????2???
注意到：被积函数的两个因子在区间?0,?上异号（sinx?cosx?0，
?4?
理得知必有I≤0，即知原不等式成立。
方法二（利用积分中值定理）
42??x?????2????1?x??1??x???2????0），由积分估值定
sinx?cosxsinx?cosxsinx?cosx42命I??2dx?dx??01?x2??41?x2dx， 01?x2???由积分中值定理，并在区间?,?上取变换t??x，同时注意到：
2?42???????1??2，得
I??11??112??sinx?cosx?dx?1?????sinx?cosx?dx402224?1?114?cost?sint?dt???sinx?cosxdx??2?2?1??1??01??1402????22??4?cosx?sinx?dx?02??01??1?1?
第十题证明：化为二重积分证明。记D?(x,y)a?x?b,a?y?b，则原式
??左边??f(x)ef(x)dx?abba1f(x)f(x)f(y)f(y)dy???edxdy???edxdyf(y)f(y)f(x)DDf(x)?f(y)1?f(y)f(y)f(x)f(x)?f(x)f(y)??????e?e?dxdy???e2dxdy????1??dxdy ?2D?f(x)f(y)22??DD??(b?a)??dy?f(x)dx?(b?a)(b?a?A)aa2bb第十一题证明：将函数f(x)在点x0?a?b处作泰勒展开，并分别取x=a和b，得到 22a?b?1a?b??a?b??a?b????a?b????f(a)?f??fa??f(?)a?,其中?????????a，?； 1?12?2!2?2??2??2????a?b?1a?b??a?b??a?b????a?b?f(b)?f?,b?。 ??f????b???f??(?2)?b??,其中?2??2222!22??????????两式相加得到
221?a?b??b?a???????f(a)?2f??f(b)?f(?)?f(?)??。 12?2!?2??2?由于f??(x)连续，由介值定理知，存在????1,?2?使得f??(?)?f??(?1)?f??(?2)，从而得
21?a?b?2f(a)?2f???f(b)??b?a?f??(?)，
4?2?即 f??(?)?4?b?a?2???a?b? f(a)?2f?f(b)?????2???第十二题证明：在区间[-2,0]和[0,2]上分别对函数f(x)应用拉格朗日中值定理
??1?(?2,0)使f?(?1)?f(0)?f(?2)；
2f(2)?f(0)??2?(0,2)使f?(?2)?。
2注意到：f(x)?1，因此f?(?1)?f(0)?f(?2)?1，f?(?2)?1。
2