2f?2x?3y?1??8x?12y，
所以f?2x?3y?1??2?2x?3y?。
命：2x?3y?1?t，于是有f?t??2?t?1?。
⑵ 因为P?x,y??2f?2x?3y?1?,Q?x,y??3f?2x?3y?1?，
所以
?P?Q。 ?6f??2x?3y?1???y?x?1,3?于是可知I与积分路径无关，从而
I??f?2x?3y?1??2dx?3dy???L?0,0?f?2x?3y?1??2dx?3dy?，
命：2x?3y?1?t，当x = 0,y = 0时，t = 1；x = 1,y = 3时，t = 12。
12故 I??1f?t?dt??1212?t?1?dt?t2?2t??12?121
1?0?。
第八题解：设所求平面的截距式方程为
xyz???1ξη?因平面过点(a,b,c)，故有
???0,??0,?abc???1。 ξη?四面体体积V?1???。 6应用拉格朗日乘数法，设
?abc?1， F??,?,?,????????????1???6?ξη??λa??F1?η???0,??ξ6ξ2?λb??F1?????0,2???6??命： ?
??F?1?η?λc?0,???6?2??a?b?c?1?0.??ξη?得到
a1b1c1?ξη?,?ξη?,?ξη?。 ξ6λ?6λ?6λ显然??0，否则ξη??0，这与题意不符。代入上述第四个方程，得到
ξη??2?，
从而ξ?3a,η?3b,??3c是唯一驻点，也是唯一最小值点。故所求平面为
xyz???1。 3a3b3c第九题解：将区域D分成三块：
D1???x,y?0?x?1,x?y?1?D2??x,y?0?x?1,x2?y?x D3于是
2???x,y?0?x?1,0?y?x??????D3I?????D11xyy?x2d????xy?x2d????xx2?yd?D2???101dx?y?yxdy??xdx?2y?xdy??xdx?0x0?22?1x?2?1x20?x2?ydy
?351?x1x?1x2x3x4?x5?4????????dx????x?dx??dx???0?300232?2?2??211?40第十题证明：充分性
已知??0,0??0，欲证f?x,y?在点(0,0)处可微，只需证
limx?0y?0x?y??x,y?x?yx?yx?y2222?0。
注意到：
x?yx?y22??2，
所以
x?y??x,y?x?y22?2??x,y?。
又lim??x,y??0，由夹逼定理知limx?0y?0x?y??x,y?x?y22x?0y?0?0。
从而f?x,y?在点(0,0)处可微，并且df?x,y??0。 必要性
已知f?x,y?在点(0,0)处可微，故fx??0,0?与fy??0,0?都存在。而
fx??0,0??limx?0?x?0??x,0??0??0,0?x?????0,0?，
其中当x?0时，fx??0,0????0,0?；当x?0时，fx??0,0?????0,0?。由于fx??0,0?存在，故??0,0??0。 第十一题解：化为第一类曲面积分求解。设Σ的单位法向量n??cos?,cos?,cos????013?1,?1,1?，则
I?????f?x,y,z??x?cos???2f?x,y,z??y?cos???f?x,y,z??z?cos??dSΣ?1??x21yz?????f?x,y,z??f?x,y,z??f?x,y,z??dS?????????dS
3333??Σ?3Σ?31?x?y?1?x?y??1?1?1dσ???3Dxy其中Dxy??x,y?0?x?1,x?1?y?0。
故I???Dxy??dxdy?1。 2?2??，使 ???11???。 224第十二题证明：由积分中值定理知，存在???0,ef???arctan???又ef?1?arctan1??4，故若设??x??ef?x?arctanx,x???,1???0,1?，显然??x?满足罗尔定理的各个条件，从而至少存
在一点????,1???0,1?使??????0。而
??????ef???ef???， f????arctan??21??从而有 1??2arctan??f??????1。
??2006
2?1??x-1?ez?y?x1?2?3③2?6e④dx?dy第二题ACBDB第三0,2,3⑤第一题①－1 ②z?y?x31?xe5??题解：由题设可推知f (0) = 0，f??0??0，于是有
limx?0f?x?f??x?f???x??lim?lim?2。
x?02xx?02x2f?x?x2x??f?x??f?x???f?x???limexp?2ln?1??e2 ??x?0x?x??????f?x??f?x??????lim1?故 lim?1???x?0x?0?x?x??????1xxf?x??????dxdye1?2lnt22etdye?4t，得到????第四题解：由，，所以
dt1?2lntt1?2lntdtdx2?1?2lnt?2e?1dyd?dy?1d?e1et??。 ???????????222??2dxdt?dx?dt?2?1?2lnt??4tdx2?1?2lnt?4t4t?1?2lnt?dt2而当x = 9时，由x?1?2t及t > 1，得t = 2，故
2d2yee ????222t?2dx2x?94t?1?2lnt?16?1?2ln2?第五题解：注意到：对于每个固定的n，总有
limsin?2n?1?x?2n?1，
x?0sinx所以被积函数在x = 0点处有界（x = 0不是被积函数的奇点）。又
sin?2n?1?x?sin?2n?1?x?2cos2nxsinx，
于是有
?sin?2n?1?x?sin?2n?1?x1dx?2?2cos2nxdx?sin2nx2?0，
0sinxn0πIn?In?1??π20上面的等式对于一切大于1的自然数均成立，故有In?In?1???I1。所以
sin3xcos2xsinx?sin2xcosx?In?I1??2dx??2dx??2cos2xdx?2?2cos2xdx?
0sinx000sinx2f?x?存在，设为A，则A≠0；又因f (x)为奇函数，所以第六题证明：因为x = 0是f (x)的第一类跳跃间断点，所以lim?x?0x?0?????limf?x???A。
命：
?f?x??A,x?0;???x???0,x?0;
?f?x??A,x?0.?则??x?在x = 0点处连续，从而??x?在???,???上处处连续，且??x?是奇函数：
当x > 0，则－x < 0，???x??f??x??A??f?x??A???f?x??A?????x?； 当x < 0，则－x > 0，???x??f??x??A??f?x??A???f?x??A?????x?, 即??x?是连续的奇函数，于是
???t?dt是连续的偶函数，且在x = 0点处可导。又
0x???t?dt??f?t?dt?Ax，
00xx即
所以
x?f?t?dt????t?dt?Ax，
00xx?f?t?dt是连续的偶函数，但在x = 0点处不可导。
0第七题解： 设：u?x?y,v?cos?xy?，则
22?z?z?x?z?y?x??z?u?z?v??y??z?u?z?v???????????????????r?x?r?y?r?r??u?x?v?x??r??u?y?v?y???2?z?xcos??ysin????zsin?xy???ycos??xsin???u?v
类似可得
?z?z?z??2r?xsin??ycos???rsin?xy???ysin??xcos??， ???u?v代入原式左边，得到
?z1?zcos??sin??rr???z?z?z?2cos???xcos??ysin???cos???sin?xy??ycos??xsin???2?sin??xsin??ycos??
?u?v?u?z?z?z?sin?xy?sin??ysin??xcos???2x?ysin?xy??v?u?v第八题解：记G?t??有
1πt4x2?y2?z2?t2???f?x2?y2?z2dxdydz，应用球坐标，并同时注意到积分区域与被积函数的对称性，
?G?t??于是有
8πt4??20d??2sin?d??f?r?r2dr?00?t4?f?r?r2dr0tt4
limG?t??limt?0t?04?f?r?r2dr0tt44f?t?t2f?t??f?0??lim?lim?f??0???3 3t?0t?0t4t第九题解：因为L为x?x?y?1，故
I???ydx?xdyL格林公式????1???1??d??2??d?
DD其中D为L所围区域，故
??d?为D的面积。为此我们对L加以讨论，用以搞清D的面积。
D当x?0且x?y?0时，x?x?y?1?2x?y?1?0； 当x?0且x?y?0时，x?x?y?1??y?1?0； 当x?0且x?y?0时，x?x?y?1?y?1?0； 当x?0且x?y?0时，x?x?y?1??2x?y?1?0， 故D的面积为2×1=2。从而I??ydx?xdy?Lx?x?y?4。
tan2x?x2tanx?xtanx?xsec2x?12tan2x2?lim?lim?2lim?lim2?， 第十题证明：⑴ 因为lim432x?0x?0x?0x?0x3x?0x3xx3x224又注意到当x充分小时，tanx?x，所以成立不等式0?tanx?x?x。
⑵ 由⑴知，当n充分大时有，
1?tan2n?k1n?k?11，故 ?n?k?n?k?2