只有创造，才是真正的享受，只有拼搏，才是充实的生活
若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ 15.充要条件
（1）充分条件：若p?q，则p是q充分条件.
（2）必要条件：若q?p，则p是q必要条件.
（3）充要条件：若p?q，且q?p，则p是q充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性
(1)设x1?x2??a,b?,x1?x2那么
f(x1)?f(x2)?0?f(x)在?a,b?上是增函数；
x1?x2f(x1)?f(x2)(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0??0?f(x)在?a,b?上是减函数.
x1?x2(2)设函数y?f(x)在某个区间内可导，如果f?(x)?0，则f(x)为增函数；如果f?(x)?0，则f(x)为减函数.
17.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)?g(x)也是减函数; 如果函数y?f(u)和u?g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y?f[g(x)]是增函
(x1?x2)?f(x1)?f(x2)??0?数.
18．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
19.若函数y?f(x)是偶函数，则f(x?a)?f(?x?a)；若函数y?f(x?a)是偶函数，则
f(x?a)?f(?x?a).
20.对于函数y?f(x)(x?R),f(x?a)?f(b?x)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数a?ba?b;两个函数y?f(x?a)与y?f(b?x) 的图象关于直线x?对称. x?22a21.若f(x)??f(?x?a),则函数y?f(x)的图象关于点(,0)对称; 若f(x)??f(x?a),
2则函数y?f(x)为周期为2a的周期函数.
nn?122．多项式函数P(x)?anx?an?1x???a0的奇偶性
多项式函数P(x)是奇函数?P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数P(x)是偶函数?P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数y?f(x)的图象的对称性
(1)函数y?f(x)的图象关于直线x?a对称?f(a?x)?f(a?x) ?f(2a?x)?f(x).
a?b(2)函数y?f(x)的图象关于直线x?对称?f(a?mx)?f(b?mx)
2?f(a?b?mx)?f(mx).
24.两个函数图象的对称性
(1)函数y?f(x)与函数y?f(?x)的图象关于直线x?0(即y轴)对称. (2)函数y?f(mx?a)与函数y?f(b?mx)的图象关于直线x?(3)函数y?f(x)和y?f?1a?b对称. 2m(x)的图象关于直线y=x对称.
25.若将函数y?f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y?f(x?a)?b的图象；若将
- 30 -
只有创造，才是真正的享受，只有拼搏，才是充实的生活
曲线f(x,y)?0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(x?a,y?b)?0的图象.
26．互为反函数的两个函数的关系
f(a)?b?f?1(b)?a.
27.若函数y?f(kx?b)存在反函数,则其反函数为y?1?1[f(x)?b],并不是k1y?[f?1(kx?b),而函数y?[f?1(kx?b)是y?[f(x)?b]的反函数.
k28.几个常见的函数方程
(1)正比例函数f(x)?cx,f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)?c.
(2)指数函数f(x)?a,f(x?y)?f(x)f(y),f(1)?a?0.
(3)对数函数f(x)?logax,f(xy)?f(x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?1). (4)幂函数f(x)?x,f(xy)?f(x)f(y),f(1)??.
(5)余弦函数f(x)?cosx,正弦函数g(x)?sinx，f(x?y)?f(x)f(y)?g(x)g(y)，
?'xf(0)?1,limx?0g(x)?1. x29.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=a； （2）f(x)?f(x?a)?0，
1(f(x)?0)， f(x)1或f(x?a)??(f(x)?0),
f(x)12或?f(x)?f(x)?f(x?a),(f(x)??0,1?),则f(x)的周期T=2a； 21(3)f(x)?1?(f(x)?0)，则f(x)的周期T=3a；
f(x?a)f(x1)?f(x2)(4)f(x1?x2)?且f(a)?1(f(x1)?f(x2)?1,0?|x1?x2|?2a)，则f(x)的周
1?f(x1)f(x2)或f(x?a)?期T=4a；
(5)f(x)?f(x?a)?f(x?2a)f(x?3a)?f(x?4a)
?f(x)f(x?a)f(x?2a)f(x?3a)f(x?4a),则f(x)的周期T=5a；
(6)f(x?a)?f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=6a. 30.分数指数幂 (1)a(2)amn?1n?mn?am1mn（a?0,m,n?N，且n?1）. （a?0,m,n?N，且n?1）.
??an31．根式的性质 （1）(na)?a.
（2）当n为奇数时，a?a； 当n为偶数时，a?|a|??nnnn?a,a?0.
?a,a?0?- 31 -
只有创造，才是真正的享受，只有拼搏，才是充实的生活
32．有理指数幂的运算性质 (1) a?a?arsrrsrrrsr?s(a?0,r,s?Q).
(2) (a)?a(a?0,r,s?Q).
(3)(ab)?ab(a?0,b?0,r?Q).
p
注： 若a＞0，p是一个无理数，则a表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.
33.指数式与对数式的互化式
logaN?b?ab?N(a?0,a?1,N?0).
34.对数的换底公式
logmN (a?0,且a?1,m?0,且m?1, N?0).
logman推论 logambn?logab(a?0,且a?1,m,n?0,且m?1,n?1, N?0).
mlogaN?35．对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1)loga(MN)?logaM?logaN;
M?logaM?logaN; Nn(3)logaM?nlogaM(n?R).
(2) loga236.设函数f(x)?logm(ax?bx?c)(a?0),记??b?4ac.若f(x)的定义域为R,则
2a?0，且??0;若f(x)的值域为R,则a?0，且??0.对于a?0的情形,需要单独检验.
37. 对数换底不等式及其推广
1,则函数y?logax(bx) a11 (1)当a?b时,在(0,)和(,??)上y?logax(bx)为增函数.
aa11， (2)当a?b时,在(0,)和(,??)上y?logax(bx)为减函数.
aa 若a?0,b?0,x?0,x?推论:设n?m?1，p?0，a?0，且a?1，则 （1）logm?p(n?p)?logmn. （2）logamlogan?loga38. 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有y?N(1?p).
39.数列的同项公式与前n项的和的关系
x2m?n. 2n?1?s1,an??( 数列{an}的前n项的和为sn?a1?a2???an).
?sn?sn?1,n?240.等差数列的通项公式
an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*)；
其前n项和公式为
- 32 -
只有创造，才是真正的享受，只有拼搏，才是充实的生活
n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22d1?n2?(a1?d)n. 22sn?41.等比数列的通项公式
an?a1qn?1?a1n?q(n?N*)； q其前n项的和公式为
?a1(1?qn),q?1?sn??1?q
?na,q?1?1?a1?anq,q?1?1?q或sn??. ?na,q?1?142.等比差数列?an?:an?1?qan?d,a1?b(q?0)的通项公式为
?b?(n?1)d,q?1?an??bqn?(d?b)qn?1?d；
,q?1?q?1?其前n项和公式为
?nb?n(n?1)d,(q?1)?sn??. d1?qnd(b?)?n,(q?1)?1?qq?11?q?43.分期付款(按揭贷款)
ab(1?b)n每次还款x?元(贷款a元,n次还清,每期利率为b). n(1?b)?144．常见三角不等式 （1）若x?(0,(2) 若x?(0,?2)，则sinx?x?tanx.
)，则1?sinx?cosx?2. 2(3) |sinx|?|cosx|?1.
45.同角三角函数的基本关系式
?sin2??cos2??1，tan?=
46.正弦、余弦的诱导公式
sin?，tan??cot??1. cos?(n为偶数) (n为奇数) (n为偶数) (n为奇数) n?n??(?1)2cos?, cos(??)??n?12?(?1)2sin?,?n?n??(?1)2sin?,sin(??)?? n?12?(?1)2cos?,?
47.和角与差角公式
- 33 -
只有创造，才是真正的享受，只有拼搏，才是充实的生活
sin(???)?sin?cos??cos?sin?;
cos(???)?cos?cos??sin?sin?;
tan??tan?. tan(???)?1?tan?tan?sin(???)sin(???)?sin2??sin2?(平方正弦公式); cos(???)cos(???)?cos2??sin2?.
asin??bcos?=
b定,tan?? ).
a48.二倍角公式
a2?b2sin(???)(辅助角?所在象限由点(a,b)的象限决
sin2??sin?cos?.
cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?.
2tan?. tan2??21?tan?49. 三倍角公式
sin3??3sin??4sin3??4sin?sin(??)sin(??).
33cos3??4cos3??3cos??4cos?cos(??)cos(??)333tan??tan3???tan3???tan?tan(??)tan(??).
1?3tan2?3350.三角函数的周期公式
函数y?sin(?x??)，x∈R及函数y?cos(?x??)，x∈R(A,ω,?为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T?周期T?????.
2??；函数y?tan(?x??)，x?k???2,k?Z(A,ω,?为常数，且A≠0，ω＞0)的
?. ?51.正弦定理
abc???2R. sinAsinBsinC52.余弦定理
a2?b2?c2?2bccosA; b2?c2?a2?2cacosB; c2?a2?b2?2abcosC.
53.面积定理
111aha?bhb?chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）. 222111（2）S?absinC?bcsinA?casinB.
222????????2????????21(3)S?OAB?(|OA|?|OB|)?(OA?OB). 2（1）S?54.三角形内角和定理
在△ABC中，有A?B?C???C???(A?B)
- 34 -