只有创造，才是真正的享受，只有拼搏，才是充实的生活
?C?A?B???2C?2??2(A?B). 222k55. 简单的三角方程的通解
sinx?a?x?k??(?1)arcsina(k?Z,|a|?1). cosx?a?x?2k??arccosa(k?Z,|a|?1).
tanx?a?x?k??arctana(k?Z,a?R).
特别地,有
sin??sin????k??(?1)k?(k?Z).
cos??cos????2k???(k?Z).
tan??tan????k???(k?Z).
56.最简单的三角不等式及其解集
sinx?a(|a|?1)?x?(2k??arcsina,2k????arcsina),k?Z.
sinx?a(|a|?1)?x?(2k????arcsina,2k??arcsina),k?Z. cosx?a(|a|?1)?x?(2k??arccosa,2k??arccosa),k?Z.
cosx?a(|a|?1)?x?(2k??arccosa,2k??2??arccosa),k?Z.
tanx?a(a?R)?x?(k??arctana,k???2),k?Z.
tanx?a(a?R)?x?(k???2,k??arctana),k?Z.
57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的数量积的运算律： (1) a·b= b·a （交换律）; (2)（?a）·b= ?（a·b）=?a·b= a·（?b）; (3)（a+b）·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理
如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．
不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则a?b(b?0)?x1y2?x2y1?0. 53. a与b的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ． 61. a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 62.平面向量的坐标运算
(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1?x2,y1?y2).
???????????? (3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则AB?OB?OA?(x2?x1,y2?y1).
(4)设a=(x,y),??R，则?a=(?x,?y).
(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2?y1y2).
63.两向量的夹角公式
(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1?x2,y1?y2).
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只有创造，才是真正的享受，只有拼搏，才是充实的生活
cos??x1x2?y1y2x?y?x?y21212222(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).
64.平面两点间的距离公式
???????????? dA,B=|AB|?AB?AB ?(x2?x1)2?(y2?y1)2(A(x1,y1)，B(x2,y2)).
65.向量的平行与垂直
设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则 A||b?b=λa ?x1y2?x2y1?0. a?b(a?0)?a·b=0?x1x2?y1y2?0. 66.线段的定比分公式
??????????PP2，则 设P11P2的分点,?是实数，且PP1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段Px1??x2?????????x??????OP??OP2?1?? ?OP?1?y??y1??2?y?1?1???????????????1?(1?t)OP（）. t??OP?tOP121??67.三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是
G(x1?x2?x3y1?y2?y3,). 3368.点的平移公式
''????????????'???x?x?h?x?x?h'???OP?OP?PP . ?''y?y?ky?y?k????????'注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形F上的对应点为P(x,y)，且PP的坐标为(h,k).
''''69.“按向量平移”的几个结论
（1）点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P(x?h,y?k).
(2) 函数y?f(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的函数解析式为
'''y?f(x?h)?k.
(3) 图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式y?f(x),则C的函数解析式为y?f(x?h)?k.
(4)曲线C:f(x,y)?0按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的方程为
''''f(x?h,y?k)?0.
(5) 向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).
70. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设O为?ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则
????2????2????2（1）O为?ABC的外心?OA?OB?OC.
?????????????（2）O为?ABC的重心?OA?OB?OC?0.
????????????????????????（3）O为?ABC的垂心?OA?OB?OB?OC?OC?OA.
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只有创造，才是真正的享受，只有拼搏，才是充实的生活
?????????????（4）O为?ABC的内心?aOA?bOB?cOC?0.
????????????（5）O为?ABC的?A的旁心?aOA?bOB?cOC.
71.常用不等式：
（1）a,b?R?a?b?2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．
22a?b?ab(当且仅当a＝b时取“=”号)． 2333（3）a?b?c?3abc(a?0,b?0,c?0).
（2）a,b?R??（4）柯西不等式
(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2,a,b,c,d?R.
（5）a?b?a?b?a?b. 72.极值定理
已知x,y都是正数，则有
（1）若积xy是定值p，则当x?y时和x?y有最小值2p； （2）若和x?y是定值s，则当x?y时积xy有最大值推广 已知x,y?R，则有(x?y)?(x?y)?2xy （1）若积xy是定值,则当|x?y|最大时,|x?y|最大； 当|x?y|最小时,|x?y|最小.
（2）若和|x?y|是定值,则当|x?y|最大时, |xy|最小； 当|x?y|最小时, |xy|最大.
73.一元二次不等式ax?bx?c?0(或?0)(a?0,??b?4ac?0)，如果a与ax?bx?c同号，则其解集在两根之外；如果a与ax?bx?c异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.
x1?x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2)；
22212s. 4222x?x1,或x?x2?(x?x1)(x?x2)?0(x1?x2).
74.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有
x?a?x2?a??a?x?a.
2x?a?x2?a2?x?a或x??a.
75.无理不等式 （1）?f(x)?0?f(x)?g(x)??g(x)?0 .
?f(x)?g(x)??f(x)?0?f(x)?0?f(x)?g(x)??g(x)?0或?.
g(x)?0?f(x)?[g(x)]2???f(x)?0?f(x)?g(x)??g(x)?0.
?f(x)?[g(x)]2?（2）（3）76.指数不等式与对数不等式 (1)当a?1时,
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只有创造，才是真正的享受，只有拼搏，才是充实的生活
af(x)?ag(x)?f(x)?g(x);
?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)??g(x)?0.
?f(x)?g(x)?(2)当0?a?1时,
af(x)?ag(x)?f(x)?g(x);
?f(x)?0?logaf(x)?logag(x)??g(x)?0
?f(x)?g(x)?77.斜率公式
k?y2?y1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.
x2?x178.直线的五种方程
（1）点斜式 y?y1?k(x?x1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)． （2）斜截式 y?kx?b(b为直线l在y轴上的截距).
y?y1x?x1?(y1?y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1?x2)).
y2?y1x2?x1xy(4)截距式 ??1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b?0)
ab（5）一般式 Ax?By?C?0(其中A、B不同时为0).
（3）两点式
79.两条直线的平行和垂直
(1)若l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2 ①l1||l2?k1?k2,b1?b2; ②l1?l2?k1k2??1.
(2)若l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,且A1、A2、B1、B2都不为零,
A1B1C1； ??A2B2C2②l1?l2?A1A2?B1B2?0；
①l1||l2?80.夹角公式
k2?k1|.
1?k2k1(l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2,k1k2??1)
AB?A2B1|. (2)tan??|12A1A2?B1B2(l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,A1A2?B1B2?0).
(1)tan??|直线l1?l2时，直线l1与l2的夹角是81. l1到l2的角公式
?. 2k2?k1.
1?k2k1(l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2,k1k2??1)
(1)tan??
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只有创造，才是真正的享受，只有拼搏，才是充实的生活
A1B2?A2B1.
A1A2?B1B2(l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,A1A2?B1B2?0).
(2)tan??直线l1?l2时，直线l1到l2的角是
?. 282．四种常用直线系方程
(1)定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为y?y0?k(x?x0)(除直线x?x0),其中k是待定的系数; 经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(x?x0)?B(y?y0)?0,其中A,B是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0的交点的直线系方程为(A1x?B1y?C1)??(A2x?B2y?C2)?0(除l2)，其中λ是待定的系数．
(3)平行直线系方程：直线y?kx?b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax?By?C?0平行的直线系方程是Ax?By???0(??0)，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线Ax?By?C?0 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是
Bx?Ay???0,λ是参变量．
83.点到直线的距离
A?B84. Ax?By?C?0或?0所表示的平面区域
设直线l:Ax?By?C?0，则Ax?By?C?0或?0所表示的平面区域是： 若B?0，当B与Ax?By?C同号时，表示直线l的上方的区域；当B与Ax?By?C异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若B?0，当A与Ax?By?C同号时，表示直线l的右方的区域；当A与Ax?By?C异号时，表示直线l的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.
85. (A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0或?0所表示的平面区域 设曲线C:(A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0（A1A2B1B2?0），则
(A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0或?0所表示的平面区域是： (A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0所表示的平面区域上下两部分； (A1x?B1y?C1)(A2x?B2y?C2)?0所表示的平面区域上下两部分.
86. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程 (x?a)?(y?b)?r.
22（2）圆的一般方程 x?y?Dx?Ey?F?0(D?E?4F＞0).
22222d?|Ax0?By0?C|22(点P(x0,y0),直线l：Ax?By?C?0).
（3）圆的参数方程 ??x?a?rcos?.
?y?b?rsin?（4）圆的直径式方程 (x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0(圆的直径的端点是A(x1,y1)、
B(x2,y2)).
87. 圆系方程
(1)过点A(x1,y1),B(x2,y2)的圆系方程是
(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)??[(x?x1)(y1?y2)?(y?y1)(x1?x2)]?0
?(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)??(ax?by?c)?0,其中ax?by?c?0是直线AB的方程,
λ是待定的系数．
(2)过直线l:Ax?By?C?0与圆C:x?y?Dx?Ey?F?0的交点的圆系方程是
22
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