高等数学教案 §8 多元函数微分法及其应用
例4. 设f(x,y)?(x2?y2)sin 证 因为
1? 求证limf(x,y)?0?
(x,y)?(0,0)x2?y21122?0| ?|x?y|?|sin| ?x2?y2? 2222x?yx?y |f(x,y)?0|?|(x2?y2)sin可见?? >0? 取???? 则当
0?(x?0)2?(y?0)2???
?即P(x,y)?D?U(O,?)时? 总有
|f(x? y)?0|???
因此
lim(x,y)?(0,0)f(x,y)?0?
必须注意? ?
(1)二重极限存在? 是指P以任何方式趋于P0时? 函数都无限接近于A?
(2)如果当P以两种不同方式趋于P0时? 函数趋于不同的值? 则函数的极限不存在? 讨论?
?xy22 x?y?0?2 函数f(x,y)??x?y2在点(0? 0)有无极限？ ?
22??0 x?y?0 提示? 当点P(x? y)沿x轴趋于点(0? 0)时?
lim(x,y)?(0,0)f(x,y)?limf(x, 0)?lim0?0?
x?0x?0当点P(x? y)沿y轴趋于点(0? 0)时?
lim(x,y)?(0,0)f(x,y)?limf(0, y)?lim0?0?
y?0y?0当点P (x? y)沿直线y?kx有
lim(x,y)?(0,0) y ? kxkx2k?lim?? ?
x2?y2x?0x2?k2x21?k2xy因此? 函数f(x? y)在(0? 0)处无极限?
极限概念的推广? 多元函数的极限?
多元函数的极限运算法则? 与一元函数的情况类似? 例5 求
lim(x,y)?(0,2)sin(xy)x?
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解?
sin(xy)sin(xy)sin(xy)?lim?y?lim?limy?1?2?2? xxy(x,y)?(0,2)(x,y)?(0,2)xy(x,y)?(0,2)(x,y)?(0,2)lim 四? 多元函数的连续性
定义3 设二元函数f(P)?f (x? y)的定义域为D? P0(x0? y0)为D的聚点? 且P0?D ? 如果
lim(x,y)?(x0,y0)f(x,y)?f(x0,y0)?
则称函数f (x? y)在点P0(x0? y0)连续?
如果函数f (x? y)在D的每一点都连续? 那么就称函数f (x? y)在D上连续? 或者称f (x? y)是D上的连续函数?
二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去? 例6设f(x,y)?sin x? 证明f(x? y)是R2上的连续函数?
证 设P0(x0? y0)? R2? ???0? 由于sin x在x0处连续? 故???0? 当|x?x0|??时? 有 |sin x?sin x0|???
以上述?作P0的?邻域U(P0? ?)? 则当P(x? y)?U(P0? ?)时? 显然
|f(x? y)?f(x0? y0)|?|sin x?sin x0|???
2
即f(x? y)?sin x在点P0(x0? y0) 连续? 由P0的任意性知? sin x作为x? y的二元函数在R上连续? 证 对于任意的P0(x0? y0)?R2? 因为
lim(x,y)?(x0,y0)f(x,y)?lim(x,y)?(x0,y0)sinx?sinx0?f(x0,y0)?
所以函数f(x,y)?sin x在点P0(x0? y0)连续? 由P0的任意性知? sin x作为x? y的二元函数在R2上连续?
类似的讨论可知? 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时? 它们在各自的定义域内都是连续的?
定义4设函数f(x? y)的定义域为D? P0(x0? y0)是D的聚点? 如果函数f(x? y)在点P0(x0? y0)不连续? 则称P0(x0? y0)为函数f(x? y)的间断点? 例如
?xy22 x?y?0?2 函数f(x,y)??x?y2?
22??0 x?y?0其定义域D?R2? O(0? 0)是D的聚点? f(x? y)当(x? y)?(0? 0)时的极限不存在? 所以点O(0? 0)是该函
数的一个间断点? 又如? 函数z?sin1? 其定义域为D?{(x? y)|x2?y2?1}? 圆周C?{(x? y)|x2?y2?1}上的点2x?y?12都是D的聚点? 而f(x? y)在C上没有定义? 当然f(x? y)在C上各点都不连续? 所以圆周C上各点都是该函数的间断点?
注? 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点?
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可以证明? 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数? 连续函数的商在分母不为零处仍连续? 多元连续函数的复合函数也是连续函数?
多元初等函数? 与一元初等函数类似? 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数? 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的? 例如
x?x2?y21?y2? sin(x?y)? ex2?y2?z2都是多元初等函数?
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的? 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域?
由多元连续函数的连续性? 如果要求多元连续函数f(P)在点P0处的极限? 而该点又在此函数的定义区域内? 则 lim 例7 求
p?p0f(P)?f(P0)?
lim(x,y)?(1,2)x?y? ?xy 解? 函数f(x,y)?x?yxy是初等函数? 它的定义域为
D?{(x? y)|x?0? y?0}?
P0(1? 2)为D的内点? 故存在P0的某一邻域U(P0)?D? 而任何邻域都是区域? 所以U(P0)是f(x? y)的一个定义区域? 因此
lim(x,y)?(1,2)f(x,y)?f(1,2)?3? 2 一般地? 求limf(P)时? 如果f(P)是初等函数? 且P0是f(P)的定义域的内点? 则f(P)在点P0
P?P0处连续? 于是
limf(P)?f(P0)?
P?P0 例8 求lim(x,y)?(0, 0)xy?1?1xy?
(xy?1?1)(xy?1?1)xy(xy?1?1) 解? lim(x,y)?(0, 0)xy?1?1xy?lim(x,y)?(0, 0)?lim(x,y)?(0, 0)1xy?1?1?1? 2
多元连续函数的性质?
性质1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数? 必定在D上有界? 且能取得它的最大值和最小值?
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性质1就是说? 若f(P)在有界闭区域D上连续? 则必定存在常数M?0? 使得对一切P?D? 有|f(P)|?M? 且存在P1、P 2?D? 使得
f(P1)?max{f(P)|P?D}? f(P2)?min{f(P)|P?D}?
性质2 (介值定理) 在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值?
§8? 2 偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
对于二元函数z?f(x? y)? 如果只有自变量x 变化? 而自变量y固定? 这时它就是x的一元函数? 这函数对x的导数? 就称为二元函数z?f(x? y)对于x的偏导数?
定义 设函数z?f(x? y)在点(x0? y0)的某一邻域内有定义? 当y固定在y0而x在x0处有增量?x时? 相应地函数有增量
f(x0??x? y0)?f(x0? y0)?
如果极限
lim?x?0f(x0??x,y0)?f(x0,y0)?x
存在? 则称此极限为函数z?f(x? y)在点(x0? y0)处对x的偏导数? 记作
?z?xx?x0y?y0?
?f?xx?x0y?y0? zxx?x0y?y0? 或fx(x0,y0)?
例如
fx(x0,y0)?limf(x0??x,y0)?f(x0,y0)?x?
?x?0类似地? 函数z?f(x? y)在点(x0? y0)处对y 的偏导数定义为
lim?y?0f(x0,y0??y)?f(x0,y0)?y?
记作
?z?yx?x0y?y0?
?f?yx?x0y?y0? zyx?x0y?y0? 或fy(x0? y0)?
偏导函数? 如果函数z?f(x? y)在区域D内每一点(x? y)处对x的偏导数都存在? 那么这个偏导数就是x、y的函数? 它就称为函数z?f(x? y)对自变量x的偏导函数? 记作
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偏导函数的定义式? fx(x,y)?lim?f?z? ? zx? 或fx(x,y)? ?x?xf(x??x,y)?f(x,y)?x?0?x?
类似地? 可定义函数z?f(x? y)对y的偏导函数? 记为
?f?z? ? zy ? 或fy(x,y)? ?y?yf(x,y??y)?f(x,y)?
?y偏导函数的定义式? fy(x,y)?lim 求导数?
?f?x?y?0时? 只要把y暂时看作常量而对x求导数? 求
?f?y时? 只要把x暂时看作常量而对y求
讨论? 下列求偏导数的方法是否正确？?
fx(x0,y0)?fx(x,y)x?x0? fy(x0,y0)?fy(x,y)x?x0? ?
y?y0y?y0 fx(x0,y0)?[ddf(x0,y)]y?y? ? fy(x0,y0)?[f(x,y0)]0x?x0dydx 偏导数的概念还可推广到二元以上的函数??例如三元函数u?f(x? y? z)在点(x? y? z)处对x的偏导数定义为
fx(x,y,z)?lim?x?0f(x??x,y,z)?f(x,y,z)?
?x其中(x? y? z)是函数u?f(x? y? z)的定义域的内点? 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题? 例1 求z?x?3xy?y在点(1? 2)处的偏导数? 解
?z?z?z?3x?2y? ?2x?3y? ?y?x?xx?1?2?1?3?2?8? y?22
2
?z?yx?1y?2?3?1?2?2?7?
例2 求z?x2sin 2y的偏导数? 解
?z?z?2x2cos2y? ?2xsin2y? ?y?xx?z1?z??2z? y?xlnx?y 例3 设z?xy(x?0,x?1)? 求证? 证
?z?yx?xy?1?
?z?xylnx???y 高等数学课程建设组