高等数学教案 §8 多元函数微分法及其应用
是把f(u? x? y)中的u及y看作不变而 对x的偏导数?
?f?z与也朋类似的区别? ?y?y 3．复合函数的中间变量既有一元函数? 又有多元函数的情形
定理3 如果函数u??(x? y)在点(x? y)具有对x及对y的偏导数? 函数v??(y)在点y可导? 函数z?f(u? v)在对应点(u? v)具有连续偏导数? 则复合函数z?f[?(x? y)? ?(y)]在点(x? y)的两个偏导数存在? 且有
?z?z?u?zdv???? ?z??z??u? ?
?x?u?x?y?u?y?vdy
例1 设z?eusin v? u?xy? v?x?y? 求?z和
?x?z? ?y 解 ?z??z??u??z??v
?x?u?xx y
?v?x ?eusin v?y?eucos v?1 ?e[y sin(x?y)?cos(x?y)]?
?z?z?u?z?v???? ?y?u?y?v?yu
u
?esin v?x?ecos v?1 ?exy[x sin(x?y)?cos(x?y)]? 例2 设u?f(x,y,z)?ex 解
?u?f?f?z ????x?x?z?x22?y2?z2? 而z?x2siny? 求
?u?u和? ?y?x ?2xex?y2?z2?2zex2?y2?z2?2xsiny
?2x?(1?2x2sin2y)ex?u?f?f?z??? ?y?y?z?y222?y2?x4siny?
?2yex?y2?z2?2zex2?y2?z2?x2cosy
?2(y?x4sinycosy)ex22?y2?x4siny?
dz? dt 例3 设z?uv?sin t ? 而u?et? v?cos t? 求全导数
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解 dz??z?du??z?dv??z
dt?udt?vdt?t ?v?et?u?(?sin t)?cos t ?etcos t?e tsin t?cos t ?e(cos t?sin t)?cos t ?
?2w?w 例4 设w?f(x?y?z? xyz)? f具有二阶连续偏导数? 求及?
?x?z?xt
解 令u?x?y?z? v?xyz ? 则w?f(u? v)? 引入记号? f1??
?f(u,v)?u??? f12?f(u,v)?u?v???f22??等? ? 同理有f2??f11?w?f?u?f?v?????f1??yzf2?? ?x?u?x?v?x?f??f??2w? ?(f1??yzf2?)?1?yf2??yz2
?x?z?z?z?z???xyf12???yf2??yzf21???xy2zf22?? ?f11???y(x?z)f12???yf2??xy2zf22??? ?f11 注?
?f1??f1??u?f1??v?f??f??u?f2??v???xyf12??? 2?2????xyf22??? ?????f11???f21?z?u?z?v?z?z?u?z?v?z 例5 设u?f(x? y)的所有二阶偏导数连续? 把下列表达式转换成极坐标系中的形式?
?u2?u2?2u?2u(1)()?()? (2)2?2?
?x?y?x?y解 由直角坐标与极坐标间的关系式得 u?f(x? y)?f(?cosθ? ?sinθ)?F(?? θ)? 其中x??cosθ? y??sinθ? ??应用复合函数求导法则? 得
??u?u???u???u?uysin?ux?uy???cos??? ???x???x???x?????????2???u?ucos??u?u???u???uy?ux?sin????? ???y???y???y?????????2??x2?y2? ??arctanyx?
两式平方后相加? 得
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(?u)2?(?u)2?(?u)2?12(?u)2?
?x?y?????再求二阶偏导数? 得
?2u??u????u?? ?()??()??x2???x?x???x?x ???u?usin?(cos??)?cos? ?????????u?usin?sin?(cos??)? ???????? ? ??2u?2usin?cos??2usin?2 2cos??2????????2??2?2?u2sin?cos??usin2? ?? ???????2同理可得
?2u?2u?2usin?cos??2ucos?22 ?sin??2?2222??????y?????2?u2sin?cos??ucos? ?? ???????2两式相加? 得
?2u?2u?2u11?2u ?????22222??x?y?????1??u?2u ?2[?(?)?]?
???????2
全微分形式不变性? 设z?f(u? v)具有连续偏导数? 则有全微分 dz??z?zdu?dv? ?u?v如果z?f(u? v)具有连续偏导数? 而u??(x? y)? v??(x? y)也具有连续偏导数? 则 dz?
?z?zdx?dy ?x?y高等数学课程建设组
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?( ??z?u?z?v?z?u?z?v?)dx?(?)dy ?u?x?v?x?u?y?v?y?z?u?u?z?v?v(dx?dy)?(dx?dy) ?u?x?y?v?x?y ??zdu??zdv?
?u?v由此可见? 无论z 是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数? 它的全微分形式是一样的? 这个性质叫做全微分形式不变性?
例6 设z?e usin v? u?x y? v?x?y? 利用全微分形式不变性求全微分? 解 dz??zdu??zdv? e usin vdu? e ucos v dv
?u?v ? e usin v(y dx?x dy )? e ucos v(dx?dy)
?( ye usin v? e ucos v)dx?(xe usin v? e ucos v )dy
?e xy [y sin(x?y)?cos(x?y)]dx? e xy [x sin(x?y)?cos(x?y)]dy ?
§8? 5 隐函数的求导法则
一、一个方程的情形 隐函数存在定理1
设函数F(x? y)在点P(x0? y0)的某一邻域内具有连续偏导数? F(x0? y0)?0? Fy(x0? y0)?0? 则方程F(x? y)?0在点(x0? y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y?f(x)? 它满足条件y0?f(x0)? 并有
dydx??FxFy? ?
求导公式证明? 将y?f(x)代入F(x? y)?0? 得恒等式 F(x? f(x))?0? 等式两边对x求导得
?F?Fdy???0? ?x?ydx由于F y连续? 且Fy(x0? y0)?0? 所以存在(x0? y0)的一个邻域? 在这个邻域同Fy ?0? 于是得
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dydx??FxFy?
例1 验证方程x2?y2?1?0在点(0? 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x?0时y?1的隐函数y?f(x)? 并求这函数的一阶与二阶导数在x?0的值?
解 设F(x? y)?x?y?1? 则Fx?2x? Fy?2y? F(0? 1)?0? Fy(0? 1)?2?0? 因此由定理1可知? 方程x2?y2?1?0在点(0? 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x?0时y?1的隐函数y?f(x)?
dydx??FxFy??2
2
dyx? ydx?0?
x?0
d2ydx2d2ydx2??y?xy?y2y?x(???y2x)y??y2?x2y3??1? 3y ??1?
x?0 隐函数存在定理还可以推广到多元函数? 一个二元方程F(x? y)?0可以确定一个一元隐函数? 一个三元方程F(x? y? z)?0可以确定一个二元隐函数? 隐函数存在定理2
设函数F(x? y? z)在点P(x0? y0? z0)的某一邻域内具有连续的偏导数? 且F(x0? y0? z0)?0? Fz(x0? y0? z0)?0 ? 则方程F(x? y? z)?0在点(x0? y0? z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z?f(x? y)? 它满足条件z0?f(x0? y0)? 并有
FyFx?z?z??? ? ????yFz?xFz 公式的证明? 将z?f(x? y)代入F(x? y? z)?0? 得F(x? y? f(x? y))?0? 将上式两端分别对x和y求导? 得 Fx?Fz??z?z?0? ??0? Fy?Fz??y?x因为F z连续且F z(x0? y0? z0)?0? 所以存在点(x0? y0? z0)的一个邻域? 使F z?0? 于是得 FyFx?z?z?? ? ? ???yFz?xFz 例2. 设x2?y2?z2?4z?0? 求
?2z? 2?x高等数学课程建设组