高等数学教案 §8 多元函数微分法及其应用
解 设F(x? y? z)? x?y?z?4z? 则Fx?2x? Fy?2z?4?
F?z2xx? ??x????xFz2z?42?z222
?2z?2?x(2?x)?x?zx(2?x)?x()22?x?2?z?(2?x)?x?
(2?z)2(2?z)2(2?z)3 二、方程组的情形
在一定条件下? 由个方程组F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0可以确定一对二元函数u?u(x? y)? v?v(x? y)? 例如方程xu?yv?0和yu?xv?1可以确定两个二元函数u?yx2?y2? v?x?
x2?y2 事实上? xu?yv?0 ?v?yxxu?yu?x?u?1?u?? ?
yyx2?y2v?yxx? ?2?yx?y2x2?y2 如何根据原方程组求u? v的偏导数？ 隐函数存在定理3 隐函数存在定理3
设F(x? y? u? v)、G(x? y? u? v)在点P(x0? y0? u0? v0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数? 又F(x0? y0? u0? v0)?0? G(x0? y0? u0? v0)?0? 且偏导数所组成的函数行列式? ?F?(F,G)?u J???G?(u,v)?u?F?v ?G?v在点P(x0? y0? u0? v0)不等于零? 则方程组F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0在点P(x0? y0? u0? v0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u?u(x? y)? v?v(x? y)? 它们满足条件u0?u(x0? y0)? v0?v(x0? y0)? 并有
?u1?(F,G)????? ?xJ?(x,v)FuFvGuGvFxFvGxGv
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?v1?(F,G)????? ?xJ?(u,x)FuFvGuGvFyFvGyGvFuFxGuGx
?u1?(F,G)????? ?yJ?(y,v)FuFvGuGvFuFyGuGy
?v1?(F,G)????? ?yJ?(u,y)FuFvGuGv
隐函数的偏导数:
设方程组F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0确定一对具有连续偏导数的 二元函数u?u(x? y)? v?v(x? y)? 则
?F?F?u?F?v?0,uv?x?u?v?x?x 偏导数? 由方程组?确定? ?u?v?x?x?Gv?0.?Gx?Gu?x?x??F?F?u?F?v?0,uv?y?y?y?u?v 偏导数? 由方程组?确定?
?u?v?y?y?Gv?0.?Gy?Gu?y?y? 例3 设xu?yv?0? yu?xv?1? 求
?v?u?u?v? ? 和?
?y?y?x?x 解 两个方程两边分别对x 求偏导? 得关于
?u?v和的方程组 ?x?x?u?x?u?y?v?0??x?x? ??u?v?v?x?0?y?x??x当x2?y2 ?0时? 解之得
xu?yv?vyu?xv?u? ? ???2?xx2?y2?xx?y2 高等数学课程建设组
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两个方程两边分别对x 求偏导? 得关于
?u?v和的方程组 ?y?y?x?u?v?y?v?0??y?y? ??u?v?x?0?u?y?y?y?当x2?y2 ?0时? 解之得?u??yxv?yux2?y2xu?yv? ?v???
22?yx?y 另解 将两个方程的两边微分得 ??udx?xdu?vdy?ydv?0?xdu?ydv?vdy?udx? 即??
udy?ydu?vdx?xdv?0ydu?xdv??udy?vdx??解之得 du??xu?yvx2?y2dx?xv?yux2?y2dy?
dv?yu?xvx?y22dx?xu?yvx?y22dy?
xu?yv?uxv?yu于是 ?u??2? ? ?222?xx?y?yx?y
xu?yv?vyu?xv?v? ? ??2??22?xx?y2?yx?y 例? 设函数x?x(u? v)? y?y(u? v)在点(u? v)的某一领域内连续且有连续偏导数? 又 (1)证明方程组
??x?x(u,v)
y?y(u,v)??(x,y)?(u,v)?0?
在点(x? y? u? v)的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数u?u(x? y)? v?v(x? y)? (2)求反函数u?u(x? y)? v?v(x? y)对x? y的偏导数? 解 (1)将方程组改写成下面的形式
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??F(x,y,u,v)?x?x(u,v)?0?
G(x,y,u,v)?y?y(u,v)?0?则按假设 J??(F,G)?(u,v)??(x,y)?(u,v)?0.
由隐函数存在定理3? 即得所要证的结论?
(2)将方程组(7)所确定的反函数u?u(x? y)?v?v(x? y)代入(7)? 即得 ??x?x[u(x,y),v(x,y)]?
y?y[u(x,y),v(x,y)]?将上述恒等式两边分别对x求偏导数?得
?1??x??u??x??v? ??u?x?v?x?
?y?u?y?v?0?????u?x?v?x?由于J?0? 故可解得 同理? 可得
§8? 6多元函数微分学的几何应用
一? 空间曲线的切线与法平面 设空间曲线?的参数方程为 x??(t)? y??(t)? z??(t) 这里假定?(t)? ?(t)? ?(t)都在[?? ?]上可导?
在曲线?上取对应于t?t0的一点M0(x0? y0? z0)及对应于t?t0??t的邻近一点M(x0+?x? y0+?y? z0+?z)? 作曲线的割线MM0? 其方程为
x?x0?x?y?y0?y?z?z0?z?u1?x?v1?x???? ? ?yJ?v?yJ?u?u1?y?v1?y? ? ????xJ?u?xJ?v? ?
当点M沿着?趋于点M0时割线MM0的极限位置就是曲线在点M0处的切线? 考虑
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x?x0y?y0z?z0? ???x?y?z?t?t?t当M?M0? 即?t?0时? 得曲线在点M0处的切线方程为
x?x0y?y0z?z0? ????(t0)??(t0)??(t0) 曲线的切向量? 切线的方向向量称为曲线的切向量? 向量 T?(??(t0)? ??(t0)? ??(t0)) 就是曲线?在点M0处的一个切向量?
法平面? 通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线?在点M0 处的法平面? 其法平面方程为
??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0?
例1 求曲线x?t? y?t2? z?t3在点(1? 1? 1)处的切线及法平面方程? 解 因为xt??1? yt??2t? zt??3t2? 而点(1? 1? 1)所对应的参数t?1? 所以 T ?(1? 2? 3)? 于是? 切线方程为 法平面方程为
(x?1)?2(y?1)?3(z?1)?0? 即x?2y?3z?6?
讨论?
1? 若曲线?的方程为 y??(x)? z??(x)? 问其切线和法平面方程是什么形式?
提示? 曲线方程可看作参数方程? x?x? y??(x)? z??(x)? 切向量为T?(1? ??(x)? ??(x))? 2? 若曲线?的方程为
F(x? y? z)?0? G(x? y? z)?0? 问其切线和法平面方程又是什么形式??
提示? 两方程确定了两个隐函数? y??(x)? z??(x)? 曲线的参数方程为 x?x? y??(x)? z??(x)? ?
x?1y?1z?1? ??123 高等数学课程建设组