高等数学教案 §8 多元函数微分法及其应用
x?z1?zx??yxy?xlnx?yyy?1?1xylnx?xy?xy?2z? lnx 例4 求r?x2?y2?z2的偏导数? 解 ?r??xxx?y?z222?x?r? ??yryx?y?z222?yr?
例5 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数)? ?求证?
?p?V?T????1? ?V?T?p?pRTRT? ??2? ??VVVRT?VR?? V??
p?Tp 证 因为p? T?pV?TV?? ?
?pRR所以
?p?V?TRTRVRT????2??????1? ?V?T?ppRpVV 例5 说明的问题? 偏导数的记号是一个整体记号? 不能看作分子分母之商? 二元函数z?f(x? y)在点(x0? y0)的偏导数的几何意义? ?
fx(x0? y0)?[f(x? y0)]x?是截线z?f(x? y0)在点M0处切线Tx对x轴的斜率? fy(x0? y0) ?[f(x0? y)]y?是截线z?f(x0? y)在点M0处切线Ty对y轴的斜率?
偏导数与连续性? 对于多元函数来说? 即使各偏导数在某点都存在? 也不能保证函数在该点连续? 例如
?xy x 2 ?y2?0?22 f(x,y)??x?y
? 2 ? y2?0?0 x在点(0? 0)有? fx(0? 0)?0? fy(0? 0)?0? 但函数在点(0? 0)并不连续? 提示?
f(x, 0)?0? f(0, y)?0?
高等数学课程建设组
高等数学教案 §8 多元函数微分法及其应用
d[f(0, y)]?0? fx(0, 0)?d[f(x, 0)]?0? fy(0, 0)?dxdy 当点P(x? y)沿x轴趋于点(0? 0)时? 有
lim(x,y)?(0,0)f(x,y)?limf(x, 0)?lim0?0?
x?0x?0 当点P(x? y)沿直线y?kx趋于点(0? 0)时? 有
lim(x,y)?(0,0) y?kxxyx2?y2?limx?0kx2k? ??2222x?kx1?k因此?
lim(x,y)?(0,0)f(x,y)不存在? 故函数f(x? y)在(0? 0)处不连续?
类似地? 可定义函数z?f(x? y)对y的偏导函数? 记为
?f?z? ? zy ? 或fy(x,y)? ?y?yf(x,y??y)?f(x,y)?
?y偏导函数的定义式? fy(x,y)?lim 二? 高阶偏导数
?y?0 设函数z?f(x? y)在区域D内具有偏导数
?z?z?fy(x,y)? ?fx(x,y)? ?y?x那么在D内fx(x? y)、fy(x? y)都是x? y 的函数? 如果这两个函数的偏导数也存在? 则称它们是函数z?f(x? y)的二偏导数? 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数 如果函数z?f(x? y)在区域D内的偏导数fx(x? y)、fy(x? y)也具有偏导数? 则它们的偏导数称为函数z?f(x? y)的二阶偏导数? 按照对变量求导次序的 不同有下列四个二阶偏导数
??z?2z??z?2z()??fxy(x,y)? ()?2?fxx(x,y)?
?y?x?x?y?x?x?x??z?2z??z?2z()??fyx(x,y)? ()?2?fyy(x,y)? ?x?y?y?x?y?y?y
??z?2z??z?2z()??fxy(x,y)? ()??fyx(x,y)称为混合偏导数? ?其中
?y?x?x?y?x?y?y?x
高等数学课程建设组
高等数学教案 §8 多元函数微分法及其应用
??z?2z??z?2z??z?2z??z?2z? ? ()?()?()?2? ()?2? ?
?y?x?x?y?x?y?y?x?y?y?x?x?x?y 同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数? ? 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数?
?2z?2z?2z?3z 例6 设z?xy?3xy?xy?1? 求2、3、和?
?y?x?x?y?x?x32
3
?z?2x3y?9xy2?x? 解 ?z?3x2y2?3y3?y?
?x?y?2z?3z2 ?6xy? ?6y2? 32?x?x?2z?2z22?6xy?9y?1? ?6x2y?9y2?1? ?
?x?y?y?x
?2z?2z?由例6观察到的问题? ?y?x?x?y?2z?2z 定理 如果函数z?f(x? y)的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续? 那么在该区
?y?x?x?y域内这两个二阶混合偏导数必相等?
类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数? 例7 验证函数z?ln?2z?2zx?y满足方程2?2?0?
?x?y22 证 因为z?lnx2?y2?1ln(x2?y2)? 所以 2
y?z?zx?2? ? ??xx?y2?yx2?y222y2?x2?2z(x?y)?x?2x ? ??2?x2(x2?y2)2(x?y2)2 高等数学课程建设组
高等数学教案 §8 多元函数微分法及其应用
22x2?y2?2z(x?y)?y?2y ? ??2?y2(x2?y2)2(x?y2)2x2?y2y2?x2?2z?2z因此 2?2?2?2?0? 2222?x?y(x?y)(x?y)?2u?2u?2u 例8．证明函数u?1满足方程2?2?2?0?
r?x?y?z其中r?x2?y2?z2?
证? ?u??12??r??12?x??x3?
?xr?xrrr
?2u13x?r13x2???????5? 2343?x?xrrrr2?2u13z2?2u13y同理 ??3?5? ??3?5?
?z2rr?y2rr2?2u?2u?2u13x213y13z2因此2?2?2?(?3?5)?(?3?5)?(?3?5)
?x?y?zrrrrrr22233(x?y?z)33r2 ??3???3?5?0?
rr5rr提示?
?u?x?(?)???x2?xr32r3?x??3?r(r)r3?x?3r2?x?x? ??r6r6 §8? 3全微分及其应用 一、全微分的定义
根据一元函数微分学中增量与微分的关系??有 偏增量与偏微分?
f(x??x? y)?f(x? y)?fx(x? y)?x?
f(x??x? y)?f(x? y)为函数对x的偏增量? f x(x? y)?x为函数对x的偏微分? f(x? y??y)?f(x? y)?fy(x? y)?y??
高等数学课程建设组
高等数学教案 §8 多元函数微分法及其应用
f(x? y??y)?f(x? y)为函数)对y的偏增量? f y(x? y)?y为函数对y的偏微分? 全增量? ?z? f(x??x? y??y)?f(x? y)?
计算全增量比较复杂? 我们希望用?x、?y的线性函数来近似代替之? 定义 如果函数z?f(x? y)在点(x? y)的全增量 ?z? f(x??x? y??y)?f(x? y) 可表示为
?z?A?x?B?y?o(?) (??(?x)2?(?y)2 )?
其中A、B不依赖于?x、?y 而仅与x、y 有关? 则称函数z?f(x? y)在点(x? y)可微分? 而称A?x?B?y为函数z?f(x? y)在点(x? y)的全微分? 记作dz? 即 dz?A?x?B?y?
如果函数在区域D内各点处都可微分? 那么称这函数在D内可微分? 可微与连续? 可微必连续? 但偏导数存在不一定连续? 这是因为?? 如果z?f(x? y)在点(x? y)可微??则 ?z? f(x??x? y??y)?f(x? y)?A?x?B?y?o(?)??于是 lim?z?0?
??0从而 lim(?x,?y)?(0,0)f(x??x,y??y)?lim[f(x,y)??z]?f(x,y)??
??0因此函数z?f(x? y)在点(x? y)处连续?? 可微条件? 定理1(必要条件)
如果函数z?f(x? y)在点(x? y)可微分? 则函数在该点的偏导数y)在点(x? y)的全微分为 dz??z?z?x??y? ?x?y?z?z、必定存在? 且函数z?f(x? ?y?x 证 设函数z?f(x? y)在点P(x? y)可微分? 于是? 对于点P的某个邻域内的任意一点P ?(x??x? y??y)? 有?z?A?x?B?y?o(?)? 特别当?y?0时有 f (x??x? y)?f(x? y)?A?x?o(|?x|)? 上式两边各除以?x? 再令?x?0而取极限? 就得 lim从而偏导数
?x?0f(x??x,y)?f(x,y)?A?
?x?z?z?z?z?B? 所以 ?A??同理可证偏导数存在? 且存在? 且
?y?y?x?x高等数学课程建设组