高等数学教案 §8 多元函数微分法及其应用
dy?dzFx?Fy?Fz?0?dydxdx由方程组?可解得和dz??
dydxdxdz?Gx?Gy?Gz?0dxdx?切向量为T?(1, dydz, )? dxdx2
2
2
例2 求曲线x?y?z?6? x?y?z?0在点(1? ?2? 1)处的切线及法平面方程? ? 解 为求切向量? 将所给方程的两边对x求导数? 得
dy?dz2x?2y?2z?0?dxdx ???
dydz?1???0?dxdx解方程组得
dydx?z?xdzx?y?? ? ?
y?zdxy?zdydx?0?
dz??1? dx在点(1? ?2? 1)处?
从而T ?(1? 0? ?1)? 所求切线方程为 法平面方程为
(x?1)?0?(y?2)?(z?1)?0? 即x?z?0? 解 为求切向量? 将所给方程的两边对x求导数? 得
dy?dz2x?2y?2z?0?dxdx ????
dydz?1???0?dxdxx?1y?2z?1? ??10?1方程组在点(1? ?2? 1)处化为
?dydz2??1?dxdx ???
dydz????1?dxdx解方程组得
dydx?0?
dz??1? dx从而T ?(1? 0? ?1)? 所求切线方程为
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法平面方程为
x?1y?2z?1? ??10?1 (x?1)?0?(y?2)?(z?1)?0? 即x?z?0?
二? 曲面的切平面与法线 设曲面?的方程为 F(x? y? z)?0?
M0(x0? y0? z0)是曲面?上的一点? 并设函数F(x? y? z)的偏导数在该点连续且不同时为零? 在曲面?上? 通过点M0任意引一条曲线?? 假定曲线?的参数方程式为 x??(t)? y??(t)? z??(t) ?
t?t0对应于点M0(x0? y0? z0)? 且??(t0)? ??(t0)? ??(t0)不全为零? 曲线在点的切向量为 T ?(??(t0)? ??(t0)? ??(t0))? 考虑曲面方程F (x? y? z)?0两端在t?t0的全导数?
Fx(x0? y0? z0)??(t0)?Fy(x0? y0? z0)??(t0)?Fz(x0? y0? z0)??(t0)?0? 引入向量
n?(Fx(x0? y0? z0)? Fy(x0? y0? z0)? Fz(x0? y0? z0))?
易见T与n是垂直的? 因为曲线?是曲面?上通过点M0的任意一条曲线? 它们在点M0的切线都与同一向量n垂直? 所以曲面上通过点M0的一切曲线在点M0的切线都在同一个平面上? 这个平面称为曲面?在点M0的切平面? 这切平面的方程式是
Fx(x0? y0? z0)(x?x0)?Fy(x0? y0? z0)(y?y0)?Fz(x0? y0? z0)(z?z0)?0?
曲面的法线? 通过点M0(x0? y0? z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线? 法线方程为
x?x0Fx(x0, y0, z0)?y?y0Fy(x0, y0, z0)?z?z0Fz(x0, y0, z0)?
曲面的法向量? 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量? 向量 n?(Fx(x0? y0? z0)? Fy(x0? y0? z0)? Fz(x0? y0? z0)) 就是曲面?在点M0处的一个法向量?
例3 求球面x?y?z?14在点(1? 2? 3)处的切平面及法线方程式? 解 F(x? y? z)? x?y?z?14? Fx?2x? Fy?2y ? Fz?2z ?
Fx(1? 2? 3)?2? Fy(1? 2? 3)?4? Fz(1? 2? 3)?6?
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法向量为n?(2? 4? 6)? 或n?(1? 2? 3)? 所求切平面方程为
2(x?1)?4(y?2)?6(z?3)?0? 即x?2y?3z?14?0? 法线方程为
x?1y?2z?3? ??123 讨论? 若曲面方程为z?f(x? y) ? 问曲面的切平面及法线方程式是什么形式? 提示? 此时F(x? y? z)?f(x? y)?z ? n?(fx(x0? y0)? fy(x0? y0)? ?1) 例4 求旋转抛物面z?x2?y2?1在点(2? 1? 4)处的切平面及法线方程? 解 f (x? y)?x?y?1?
n?(fx? fy? ?1)?(2x? 2y? ?1)? n|(2? 1? 4)?(4? 2? ?1)? 所以在点(2? 1? 4)处的切平面方程为
4(x?2)?2(y?1)?(z?4)?0? 即4x?2y?z?6?0? 法线方程为
§8? 7 方向导数与梯度
一、方向导数
现在我们来讨论函数z?f(x? y)在一点P沿某一方向的变化率问题?
设l是xOy平面上以P0(x0? y0)为始点的一条射线? el?(cos ?? cos ?)是与l同方向的单位向量? 射线l的参数方程为
x?x0?t cos ?? y?y0?t cos ? (t?0)?
设函数z?f(x? y)在点P0(x0? y0)的某一邻域U(P0)内有定义? P(x0?t cos ?? y0?t cos ?)为l上另一点? 且P?U(P0)? 如果函数增量f(x0?t cos ?? y0?t cos ?)?f(x0? y0)与P到P0的距离|PP0|?t的比值
f(x0?tcos?, y0?tcos?)?f(x0,y0)tx?2y?1z?4? ??42?12
2
当P沿着l趋于P0(即t?t0?)时的极限存在? 则称此极限为函数f(x? y)在点P0沿方向l的方向导数? 记作
?f?l(x0,y0)? 即
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?f?l?lim(x0,y0)t?0f(x0?tcos?, y0?tcos?)?f(x0,y0)?t?
从方向导数的定义可知? 方向导数率?
方向导数的计算?
?f?l(x0,y0)就是函数f(x? y)在点P0(x0? y0)处沿方向l的变化
定理 如果函数z?f(x? y)在点P0(x0? y0)可微分? 那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在? 且有
?f?l?fx(x0,y0)cos??fy(x0,y0)cos??
(x0,y0)其中cos ?? cos ?是方向l 的方向余弦? 简要证明? 设?x?t cos ?? ?y?t cos ?? 则
f(x0?tcos?? y0?tcos?)?f(x0? y0)?f x(x0? y0)tcos??f y(x0? y0)tcos??o(t)? 所以 limf(x0?tcos?, y0?tcos?)?f(x0,y0)tt?0??fx(x0,y0)cos??fy(x0,y0)sin??
这就证明了方向导数的存在? 且其值为
?f?l?fx(x0,y0)cos??fy(x0,y0)cos???
(x0,y0)提示? f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)?fx(x0,y0)?x?fy(x0,y0)?y?o((?x)2?(?y)2)? ?x?t cos ?? ?y?t cos ??
(?x)2?(?y)2?t?
讨论? 函数z?f (x? y)在点P 沿x轴正向和负向? 沿y轴正向和负向的方向导数如何? 提示?
沿x轴正向时? cos???? cos??0? 沿x轴负向时? cos???1? cos??0?
?f?l??f?x?
?f?f??? ??l?x 例1 求函数z?xe2y在点P(1? 0)沿从点P(1? 0)到点Q(2? ?1)的方向的方向导数?
? 解 这里方向l即向量PQ?(1, ?1)的方向? 与l同向的单位向量为
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el?(12, ?12)?
因为函数可微分? 且所以所求方向导数为
?z?l?1?12?z?x(1,0)?e2y(1,0)?1?
?z?y(1,0)?2xe2y(1,0)?2??
(1,0)?2?(?12)??2? 2 对于三元函数f(x? y? z)来说? 它在空间一点P0(x0? y0? z0)沿el?(cos ??? cos ??? cos ?)的方向导数为?
?f?l?lim(x0,y0,z0)f(x0?tcos?, y0?tcos?,z0?tcos?)?f(x0,y0,z0)tt?0??
如果函数f(x? y? z)在点(x0? y0? z0)可微分? 则函数在该点沿着方向el?(cos ??? cos ??? cos ??的方向导数为
?f?l(x0,y0,z0)?fx(x0? y0? z0)cos??fy(x0? y0? z0)cos??fz(x0? y0? z0)cos??
例2求f(x? y? z)?xy?yz?zx在点(1? 1? 2)沿方向l的方向导数? 其中l的方向角分别为60?? 45?? 60??
解 与l同向的单位向量为
el?(cos60?? cos 45?? cos60???(, ????因为函数可微分??且
fx(1? 1? 2)?(y?z)|(1? 1? 2)?3? fy(1? 1? 2)?(x?z)|(1? 1? 2)?3? fz(1? 1? 2)?(y?x)|(1? 1? 2)?2? 所以
二? 梯度
设函数z?f(x? y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数? 则对于每一点P0(x0? y0)?D? 都可确定一个向量
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1221, )???22?f?l1211?3??3??2??(5?32)?
2222(1,1,2)