无穷级数习题
一、填空题
?n?1、设幂级数?anx的收敛半径为3，则幂级数?nan(x?1)n?1的收敛区间为 。
n?0n?1?2、幂级数?(2n?1)xn的收敛域为 。
n?0?3、幂级数??nnnn?1(?3)?2x2n?1的收敛半径R? 。
4、幂级数?n?0?xn的收敛域是 。
n?12n5、级数?n?1?(x?2)n4(ln3)2n?1n的收敛域为 。
n6、级数?n?0?n的和为 。
7、?n(n?112)? 。
8、设函数f(x)??x?x2 (???x??)的傅里叶级数展开式为 a02???(an?1ncosnx?bnsinnx)，则其系数b3的值为 。
???x?0,??1,f(x)?9、设函数 则其以2?为周期的傅里叶级数在点x??处的?20?x??,?1?x,敛于 。
?10、级数?n?11n(n?1)(n?2)的和 。
?11、级数?n?1(x?2)n?4n2n的收敛域为 。
3 4、??1,1) 5、(0,4)
2参考答案：1、(?2,4) 2、(?1,1) 3、R?6、
22?ln3 7、4 8、? 9、? 10、
322114 11、(0,4)
二、选择题
1
?2n?1、设常数??0，而级数?a收敛，则级数?(?1)nn?1n?1ann??2是（ ）。
（A）发散 （B）条件收敛 （C）绝对收敛 （D）收敛与?有关 2、设pn??an?an2，qn?an?an2?，n?1.2?，则下列命题中正确的是（ ）。
?（A）若?an条件收敛，则?pn与?qn都收敛。
n?1n?1n?1???（B）若?an绝对收敛，则?pn与?qn都收敛。
n?1n?1n?1???（C）若?an条件收敛，则?pn与?qn的敛散性都不一定。
n?1n?1n?1???（D）若?an绝对收敛，则?pn与?qn的敛散性都不定。
n?1n?1n?1??,n1?2,3、设an?0n?1?，若?an发散，则下列结论正确的是（ ）。 ?(?1)an收敛，
n?1n?1????（A）?a2n?1收敛，?a2n发散. （B）?a2n收敛，?a2n?1发散.
N?1n?1n?1n?1??（C）?(a2n?1?a2n)收敛. （D）?(a2n?1?a2n)收敛.
n?1n?1?4、设?为常数，则级数?(n?1sin(n?)n2?1n)是（ ）
（A）绝对收敛. （B）条件收敛. （C）发散. （D）收敛性与?取值有关.
?5、级数?(?1)n(1?cosn?1?n)（常数??0）是（ ）
（A）发散. （B）条件收敛. （C） 绝对收敛. （D）收敛性与?有关. 6、设un?(?1)ln(1???2nn1n)，则级数
??2（A）?un与?u都收敛. （B）?un与?un都发散.
n?1n?1n?1n?1??2n??2（C）?un收敛而?u发散. （D）?un发散而?un收敛.
n?1n?0n?1n?1 2
??n?1?7、已知级数?(?1)n?1。 an?2,?a2n?1?5，则级数?an等于（ ）
n?1n?1（A）3. （B）7. （C）8. （D）9. 8、设函数f(x)?x2(0?x?1)，而
? S(x)?1?n?1bsin?n，x ???xn ??12其中bn?2?f(x)sinn?xdx，n?1,2,3?，则S(?0。 )等于（ ）
12（A）?12. （B）?14. （C）
114. （D）.
a0?x,29、设f(x)?? S(x)??2?2x,12??x?1210?x???n?1acos?n，x???x??? n其中an?2?f(x)cosn?xdx (n?0,1,?2, 则S(?052)等于（ ）。
（A）
12. （B）?12. （C）
34. （D）?34.
?10、设级数??n收敛，则必收敛的级数为
n?1?（A）?(?1)n?1nunn???2n?. （B）?n??un?1?. （C）?(u2n?1?u2n). （D）?(un?un?1).
n?1n?1?2n?1?5?11、已知级数?(?1)n?1n?1an?2，
?an?1，则级数?an等于（ ）。
n?1（A）3. （B）7. （C）8. （D）9.
?12、若级数?an收敛，则级数（ ）
n?1??n??（A）?an收敛. （B）?(?1)an收敛. （C）?anan?1收敛.（D）?n?1n?1n?1n?1?an?an?12收敛.
13、若?an(x?1)n在x?1处收敛，则此级数在x?2处（ ）。
n?0（A）条件收敛. （B）绝对收敛. （C）发散. （D）敛散性不能确定.
3
?n?n14、设幂级数?anx与?bnx的收敛半径分别为
n?0n?153与
13?，则幂级数?n?1anbn22x的收敛半
n径为（ ） （A）5. （B）参考答案： 1 C 2 B 3 D 4 C 5 C 6 C 7 8 B 9 C 10 D 11 C 12 D 13 B 14 A 53. （C）
13. （D）
15.
三、解答题
1、设f(x)在点x?0的某一邻域内具有二阶连续导数，且limx?0f(x)x?0，证明级数
??n?1f(1n)绝对收敛。
f(x)x【分析一】limx?0?0表明x?0时f(x)是比x高阶的无穷小，若能进一步确定
f(x)是x的p阶或高于p阶的无穷小，p?1，从而f(1n)也是
1n的p阶或高于p阶的
?无穷小，这就证明了?f(n?11n)绝对收敛。
【证明一】由limx?0f(x)x?0及f(x)的连续性?f(0)?0,f?(0)?0。再由f(x)在
x?0邻域有二阶连续导数及洛必达法则
f(x)f?(x)f??(x)1?lim?lim?lim?f??(0) 2x?0x?0x?0x2x22? limx?0f(x)x2?12f??(0 ).f(1由函数极限与数列极限的关系? limx???n12)?12f??(0)
n?因?n?11n2?收敛??n?1f(1n?)收敛，即?f(n?11n)绝对收敛。
?n?2、设正项数列an单调减小，且?(?1)an发散，试问级数?(n?11an?1)是否收敛？
nn?1 4
【分析与求解】因?an?单调下降有下界0??极限liman?a?0。若a?0，由莱布
x????尼兹法则，并错级数?(?1)nan收敛，与假设矛盾，于是a?0。
n?1?现在对正项级数?(n?11an?1)可用根值判别法：因为
n limnn???1(an?1n)?11lim??n???a?1a?1n， 1所以原级数收敛。
?3、求幂级数?n?113?(?2)nnxnn收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。
【分析与求解】 直接用求收敛半径的公式，先求 limnn???1??nn3?(?2)n1n???lim1231nn1)n)n?3(1??( .31于是收敛半径R?3，收敛区间为(?3,3).
?当x?3时是正项级数：?n?13nnn3?(?2)??1n.
3nnn3?(?2)??1n3?1n(n???)，而?n?11n发散，
nn?
?n?113n??(?2)n发散，即x?3时原幂级数发散。
当x??3时是变号级数，我们用分解法讨论它的敛发散。
3nnn13?(?2)n?(?1)(3?(?2)?(?2)3?(?2)(?1)n2nnnnnnnn?1n
n ??1? nn3?(?2)n1n2因 lim3?(?2)n23nnnn????lim3nnnn???3?(?2)?1n??0,?(n?123)收敛，
n 5