???3n?12nnn?(?2)?1n?收敛，又?n?1(?1)nn?收敛??3n?13nnn1?(?2)n收敛，即x??3时
原幂级数收敛。
4、（1）验证函数y(x)?1?x33!?x66!?x99???x3n(3n)!??(???x???)满足微分方程
y???y??y?e；
?x （2）利用（1）的结果求幂级数?n?0x3n(3n)!的和函数。
【分析与求解】
（1）首先验证该幂级数的收敛区间是(??,??).这是缺项幂级数，令t?x3，则
? 原级数??(3n)!??(3n)!
n?0n?0x3n?tn1由 limn???(3(n?111))!?limn???(3n?3)(n3?(3n)!2n)?(3? 01)?t?(??,??)，从而x?(??,??)时原级数收敛。
其次，在收敛区间内对幂级数可以逐项求导任意次，这里要求逐项求导两次：
? y?(x)??(3n?1)!，
n?1x3n?1?y??(x)??(3n?2)!，
n?1x3n?2x?(??,??).
?x)?y?(x?于是 y?()?y( x)? ??(n?1??3n?2)!n?1?x3n?2x3n?1?(n?3x??1)?n!03n?2xn3n(3x3n?1
)!x3n 级数的线性性质 1?23?((3n?2)!?(3n?1)!?(3n)!)
n?1456xxxxx?)?(??)??? ?1?(x?2!3!4!5!6!x??n n?0?n! ?e (???xx ??)（收敛级数与它任意添加括号后的级数有相同的和）. 6
?（2）因为幂级数?n?0x3n(3n)!的和函数y(x)满足微分方程
y???y??y?xe. ① 又知 y(0)?1y?,(?0) ②
所以为求y(x)只须解二阶线性常系数微分方程的初值问题①+②
该方程相应的齐次方程的特征方程为 ?2???1?0.
1232?12x特征根为?1,2???i ? 相应齐次方程的通解为
y?e(c1cos32x?c2sin32x).
设非齐次方程的一个特解为y??Aex，代入方程①得
y????y???y??3Ae?e.
xx? A?13.
?x2? 非齐次方程①的通解为 y?e(c1cos32x?c2sin32x)?13e.
x令x?0，由初始条件② ?
1?y(0)?c??1,1?32? ? c1?,c2?0. ?3?y?(0)??1c?3c?1?0.12?223??因此
??(n?0x3n?y(x)?3n)!2e2cos3?x32x?1xe (???x???) 35、求幂级数?(?1)n?1(1?n?11n(2n?1))x2n的收敛区间与和函数f(x).
【分析与求解】 这是缺项幂级数，令t?x,考察?antn，其中
n?12? an?(?1)n?1(?11n(2n?1)7
).
由 1??nan?n2 ? liman?n???n1 .??an?1nnt的收敛半径为1?原幂级数收敛半径为1，收敛区间为(?1,1)。
下面求和函数：
??n?1?n?1f1(x)??(?1)n?1?x2n?x2?(?1)n?1x2(n?1)?x2?(?1)n?0nx2n?x221?x,
f2(x)??(?1)n?1n?11n(2n?1)?x2n，
? f2?(x)?2?(?1)n?1?n?1x2n?12n?1n?12n(?,
f2??(x)?2(??n?11)x1)?21?x2 (x?1)
注意f2?(0)?0,f2(0)?0，积分两次得
f2?(x)???x0xf2??(t)dt?2?x11?t20xdt?2arctanx,
x f2(x)?0f2?(t)dt?2?arctantdt?2xarctanx?2?0t1?t20dt
?2xarctaxn?x22n1?(1x ()x?1) .2因此，f(x)?f1(x)?f2(x)??1?x?2xarctanx?1n(1?x).
26、求级数?(?1)nn?012n(n?n?1)的和。
2【分析与求解】先将级数分解：
? A??(?1n?0n)12n?n(?n?21?)??(n?0n?11n1n)nn?(??1)?( 22n?0).第二个级数是几何级数，它的和已知
?
?(?n?012)?n11?(?12)?23 .求第一个级数的和转化为幂级数求和，考察
?
?(?1)x?n?0nn11?x (x?1)
8
?? S(x)??(?1)n?0nn(n?1)xn?2??12??nn? ???(?1)x??()???31?x(1?x)?n?0?1(2?)14(1?1223??
?(?1)n?0n12nn(n?1?)122S?)4 27.因此原级数的和 A??427?23?22. 277、求级数?n?212(n?1)n2的和。
【分析与求解】 先用分解法将原级数分解。
? A??2n?21(n?11n?1?1n?1?)??2n?21n?1?(n?1)??n?122n?(n?1)1 记 A1?A2.
要熟记五个简单函数的幂级数展开式，与此级数和有关的是1n(1?x)，即
? 1n(1?x?)?n?1(?1)nn?1 .x (?1?x?1)n?于是 A1??2n?21n?1?(n?1)??2n?11n?2n
??14??n?1(?1)n1n?1(?2?1n)??411n(?121?)1n1， 24? A2??2n?2n?1(n?1)n?1??2n?31nn
? ???n?3(?1)n12(?12?12?)???n?1n(?1)nn?1(?12)?n12?12(?12)
2? ??1n(1?)58?3415?n1?2 ,881n2.
因此 A?A1?A2?
8、将函数f(x)?arctan1?x1?x展为x的幂级数。
【分析与求解】f?(x)容易展开。 f?(x)?1?(
11?x1?x)2(1?x)?(1?x)?(?1)(1?x)2?2(1?x)?(1?x)22
9
?11?t11?x2，
?由
?1?t?t2???(1?)tnn????n?0(nn，得 1?t) (t?1) f?(x)?11?x2???n?0(?1x)n2nx(? ① 1).在幂级数的收敛区间内可逐项积分得
?x?0f?(t)dt??(?1)?n?0nx0tdt,
2n? f(x)?f(0)??n?0(?1)n2n?1x2n?1??4???(2n?1xn?0(?1)nn2? 1 ②
1?x1?x且收敛区间不变，当x??1时，②式右端级数均收敛，而左端f(x)?arctan连续，在x?1无定义，因此 arctan
9、将函数f(x)?141n1?x1?x141?12arctanx?x 展开成x的幂级数。
141n(1?x)?12?1x12在x??11?x1?x??4???n?0(?1)n2n?1x2n?1,x???1,1)
【分析与求解】f(x)? f?(x)?11n(1?x)??1112arctanx?x，先求f?(x)的展开式
41?x4?1x??1
?4?4n ?11221?x?11221?xx?1?11?x?x?1??xn?0?1??xn?14n (x?1)
?积分得 f(x)?f(0)?
?0f?(x)dx???n?10tdt?4n?4n?1(n?1x4n?1x?1).
?1?x2arctanxx,?0?10、设f(x)??2 试将f(x)展开成x的幂级数，并求级数
?1,x?0???1?4nn?1(?1)n2的和。
【分析与求解】 关键是将arctanx展成幂级数，然后约去因子x，再乘上1?x并化简即
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