?记s(x)??n?1xnn，其收敛域为???1,1),且S(0)?0,当x?(?1,1)时，有
? s?(x)??n?1xn?1?11?x .x故 s(x)?s(0)??x0s?(t)dt??11?t0dt??ln(1?x).
由s(x)与?ln(1?x)在x??1的连续性知，上述和函数公式在x??1处也成立，
?于是，当?1?x?1时，有?fn(x)?exs(x)??ex1n(1?x).
n?1
26、（1）验证函数y(x)?1?x33!?x66!?x99!???x3n(3n)!??(???x???)满足微分方程
y???y??y?e；
?x(1)利用(1)的结果求幂级数?n?0x3n(3n)!的和函数。
【解】 (1因)为幂级数
x3 y(x)?1?3!?x6?6!x9???9!xn3n(3?? )!的收敛域是(??,??)，因而可在(??,??)上逐项求导数，得
x2 y?(x)?2!?x55!?x8!78???xn3?1(3n?1)!xn3?2??，
y??(x)?x?x44!?x7!???(3n?2)!??，
所以 y???y??y?1?x?x22!??????e(???x???) .n!xnxxnx（2）与y???y??y?1?x?x22!???n!???e(???x???).
相应的齐次微分方程为y???y??y?0,
21
其特征方程为 ?2???1?0，特征根为?1,2??x212?32i.
因此齐次微分方程的通解为 Y?e??33?x?c2sinx?. ?c1cos22??x 设非齐次微分方程的特解为 y??Ae，将y?代入方程 y???y??y?ex可得
A?13，即有 y???x213e.
x于是，方程通解为 y?Y?y??e?33?1xx?c2sinx??e. ?c1cos22??31?y(0)?1?C?,1?3??当x?0时，有??y?(0)?0??1C?3C?1.12?223??c1?23,c2?0
于是幂级数?n?0x3n(3n)!的和函数为y(x)?23e?x2cos32x?13e(???x???).
x
?27、求幂级数1??(?1)n?1nx2n2n?(x?1)的和函数f(x)及其极值。
【解】 将等式 f(x)?1??n?1x(?1)2nn2n x(?逐项求导，得1)? f?(x)??(?1)xn?1xn2n?1??x1?x2(x?1).
上式两边从0到x积分，有 f?(x)?f(0?)??t1?t0dt??212n1?(x12)x?( 1).由于f(0)?1，故得到了和函数f(x)的表达式 f(x)?1?121n(?1x2)(x? 1).令f?(x)?0，可求出函数f(x)有惟一驻点x?0，因为
1?x22 f??(x)??(1?x)2?f??(0)??1?0，
可见f(x)在点x?0处取得极大值，且极大值为f(0)?1.
22
28、设级数
x42?4?x62?4?6?x82?4?6?8求：??(???x???)的和函数为s(x)，(I)S(x)所满足的一阶微分方程；(II)S(x)的表在式。
x6【解】 (I) S(x)?2?4?6?x82?4?6?8??(???x???)
易见S(0)?0，且幂级数的收敛域为(??,??)，在(??,??)上逐项求导，得
x3 S?(x)?2?x52?4?x72?4?6??
?x(x22??2?4x3x4???)?x??2?46?x6x??S(X?) .2?2因此S(x)是初值问题 y??xy?2，y(0)?0的解。
2?x3??xdx?xedx?C????1?Ce??2?2?x2(II) 方程 y??xy?x32的通解为y?e?sxdx2,
由初始条件 y(0)?x2x2求得0,C?1.
x2x2故 y??
2?e2?1，因此和函数S(x)?2?e2?1(?????).
?29、求幂级数?(n?112n?1?1)x2n在区间(?1,1)内的和函数S(x).
【解】 不难发现S(0)?0，从而，只需求当0?x?1时和函数S(x)的表达式，注意
? S(x)??(2n?1?1)xn?1?1?2n??n?1x2n?2n?11x??xn?12n
?1x?n?1?x2n?1?2n?1x2n?1?x2?xn?02n?S1(x)?x221?x
其中 S1(x)??n?12n?1,x?(?1,1)
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?逐项求导，得 S1?(x)??n?1x2n?x221?x,x?(?1, 1).将上式两端的x改写成t，并分别从0到x?(?1,1)求定积分，可得
x S1(x)?S1(0)??t201?t12dt??x?21?x1?x121n1?x1?x,x?(?1,1).
又因S1(0)?0，于是 S1(x)??x?1n,x?(?1,1).
?0,?综合以上讨论，即得S(x)??11?x1,1n??21?x1?x?2xx?0.
0?x?1
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