?limun?1(x)un(x)n???lim(n?1)(2n?1)?1(n?1)(2n?1)?n(2n?1)n(2n?1)?1n??x?x
22当x2?1，即x?1时，级数(1)绝对收敛； 当x2?1，即x?1时，级数(1)发散。
?级数(1)的收敛区间为(?1,1)
??(?1)n?1n?1(1?1n(2n?1)n?12n??n?1)x2n??(?1)n?1x2n??n?1(?1)n?12n(2n?1)x2n
?记g(x)??(?1)n?1x?x221?x,x?(?1,1)
?S(x)??n?1(?1)n?12n(2n?1)x2n(例7)xarctamx?12lin(1?x)
2?f(x)?g(x)?2S(x)?x221?x?2arctanx?lin(1?x),x?(?1,1)
2
?18、（1）讨论级数?n?1?(n?1)!nn?1?2n?的敛散性，（2）已知级数?a和?bn2都收敛，试证明级数
n=1n?1?an?1nbn绝对敛。
（1）解 ?un?1un?(n?2)!(n?1)n?2?nn?1(n?1)!?n(n?2)(n?1)21(1?1n)n?1e?1(n??)
? ??n?1?(n?1)!nn?1收敛
?2n?2n?（2）证
?an?1?与?b都收敛?n?1?2n?1anbn收敛??n?1anbn收敛
即
?xn?1?n绝对收敛。
19、设有方程x?nx?1?0，其中n为正整数，证明此方程存在唯一的正实根xn，并证明
n 16
?2当??1时，级数?xnn收敛。
n?1分析 （1）存在性用根的存在定理，唯一的性用函数的严格可调性
?? （2）用比较判别法证明?xn收敛。
n?1证 （1）取fn(x)?xn?nx?1?0，则fn(x)在?0,1?上连续，且
fn(0)??1?0,f(1)?n?0??nn?(0,1)，使f(xn)?0，
n?1又fn?(x)?nx?n?0,x??0,????fn(x)在?0,???上严格递增?方程
x?nx?1?0存在唯一正实根xn?(0,1).
n?nxn?1?0且xn?(0,1)，有 由 xnn0?xn??1?xnnn?1n?0?xn?n1n?(??1)
又
?n?11n??收敛??nn?1?n收敛。
?20、设an??40tanxdx.
?n（1）试证：?n?11n(an?an?2)
?（2）试证：对任意常数??0，级数?n?1ann?收敛。
（1）解 直接求an?an?2的表达式
??? an?an?2? ? ???4otanxdx?nn?240tann?2xdx??4n?40tanx?(1?tanx)dx
n2?40tanx?secxdx??n?14?0tanxd(tanx)
1n?1tanx?1n?11
0????nn?11(an?an?2)??n(n?1)
n?1 17
?Sn??n?11k(k?1)???(n?11k1?1k?1)
?1??n?1?1(n?? ) ??n?11n (an?an?1)?1?（2）证 0?an? ? 于是 0?ann??40tanxd x 令t?tan,n?arctant
nn?1tn01?t11??dt?2?10tdt?n1n?1?1n.
?n
1? 由于 1???1?,n?1?1??收敛
因此
?n?1ann?收敛。
?21、求级数?n?1(x?3)n2n的收敛域。
【解】因系数an?1n2(n?1,2?),故 limx??an?1an?x???lim?2(n?1)n2 1.因此当?1?x?3?1，即2?x?4时级数绝对收敛。
?当x?2时，得交错级数?(?1)n?1n12n?；当x?4时，得正项级数?n?11n2，二者都收敛，
于是原级数的收敛域为?2,4?.
22、已知函数f(x)??2?x?x,若0?x?1.?2?x,若1?x?2. 试计算下列各题：
42(1)s0?(3)s0??0f(x)edx; (2)s1?f(x?2n)edx?x??f(x?2)edx;
?x?2n?22n(n?2,3?)； (4s)??sn?0n
【解】用分段积分法，分部积分法和换元积分法，分别可得 (1)s0?
?10xedx??x?21(2?x)edx??x?10xedx??xedx?2?edx
11?x2?x2?x18
??xe?x21??e001?xdx?xedt?e?x21??21e?xdx?1e2??22e??1?(1?s0e21e)?21e2(e?1)；
2(2)s1x?2?t?f(t)e02?t?2?2?20f(t)edt?s0e?t；
?2(3)snx?2n?t?f(t)e0?t?2ndt?e?2n??20f(t)edt?s0e?t?2ns0e2n；
(e?1)e?122?(4)利用以上结果，有s??n?0sn?s0?(n?01e2)?nS01?1e2?es0e?12??e?1e?1
23、设有两条抛物线y?nx2?为an。
（1）求这两条抛物线所围成的平面图形的面积sn；
?1n和y?(n?1)x2?1n?1，记它们交点的横坐标的绝对值
（2）求级数?n?1snan的和。
【解】（1）用Ln与Ln?1分别表示两条抛物线
y?nx?21n与y?(n?1)x?21n?1,Ln与Ln?1
有两个交点(?an,yn)与(an,yn)，如图5.2.
令 nx?21n?(n?1)x?21n?1，容易求得an?1n(n?1)，利用定积分还可求得两
抛物线围成的平面图形的面积。
s0??an?an1??212 nx??(n?1)x???dxnn?1?? ?2ann(n?1)snann??an?anxdx?2413n(n?1)n(n?1)411(?)3n?n1.
（2） 因为 ?4?3n(n?1)1(n?1?,2?，)
于是
?k?1?skaksnan?4?111(?)?(??3?122n1?)??31n?111?(??)?nn??1)?43.
4?(13n?1 ).1故
?n?1?lim?n??k?1skak?43n??lim(1? 19
??24、设In??40sinxcosxdx,n?0,1,2,?，求?In.
n?0n?【解】由 In???40sinxd(sinx)?n1n?1?(sinx)n?140?1n?1(22)n?1，有
??n?0In??n?01n?1(22)n?1
?令s(x)??n?1xn?01n?1，因其收敛半径R?1，且s(0)?0，故在(?1,1)内有
? s?(x)??n?0x?n11?xx
)?于是 s(x)?s(0?11?t0dt??1n(?1x?)?,1?x 1.令x?222?(?1,1)，
?即得 s(2)??n?01n?1?4(22n?1)??n1(?122?)n1(?2 2).??从而
?n?0In???n?00sinxcosxdx?s(n22)?1n(2?2).
n?1x25、已知fn(x)满足fn?(x)?fn(x)?xe（n为正整数），且fn(1)?en，求函数项级数
??n?1fn(x)之和。
【解】由已知条件可知fn(x)满足一阶线性微分方程
n?1)x fn?(x)?fn(x?xe?,其通解为 fn(x)?e(?nxnxc) .由条件fn(1)??en，得c?0，故fn(x)??xennx.从而
?n?1fn(x)??n?1xennxx??e??n1xnn . 20