偶。已知主动轴和从动轴连同安装在这两轴上的齿轮以及其它附属零件的转动惯量分别为J1 和J2 ；传动比 z2:z1＝i；吊索缠绕在鼓轮上，鼓轮半径为R。设轴承的摩擦和吊索的质量均略去不计，试求重物的加速度。
图11-40
主动轴
J1(??1)?FtR1?M
J1i?2?M?FtR1 J1ia?M?FtR1 (1) R从动轴连重物
vJ2?mR2LO2?J2?2?mvR?J2?mvR?()v
RR?MO2?FtR2?mgR
dLO2dt??MO2
J2?mR2a?FtR2?mgR (2)
R式(1)×R2+(2) ×R1
J1iJ2?mR2R2a?R1a?MR2?mgRR1 RR上式除以R1
J1i2?J2?mR2a?Mi?mgR
R(Mi?mgR)R a?22mR?J1i?J2
11-18 半径为R、质量为m的均质圆盘，沿倾角为?的斜面作纯滚，如图11-41所示。不计滚动
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阻碍，试求：(1)圆轮质心的加速度；(2)圆轮在斜面上不打滑的最小静摩擦因数。
图11-41
(1) 圆盘的平面运动微分方程
maCx??FxemaCy??FyeJC???MC(Fe)
maC?mgsin??F (1) 0?FN?mgcos? (2)
JC??Fr (3) aC?r? (4)
由式(3)、(4)得 代入式(1)
F?1maC 22gsin? 3aC?由式(2) FN?mgcos?
1F?mgsin???sFN??smgcos? 3 ?s?1tan? ?smin?1tan?
33(2)
11-19 均质圆柱体A的质量为m，在外圆上绕以细绳，绳的一端B固定不动，如图11-42所示。圆柱体因解开绳子而下降，其初速度为零。试求当圆柱体的轴心降落了高度h时轴心的速度和绳子的张力。
图11-42
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maA?mg?FT (1)
JC(??)??FTR
1amR2A?FTR 2R1maA?FT 2(2)
由式(1)、(2)得
11-20 如图11-43所示，有一轮子，轴的直径为50mm，无初速地沿倾角??20?的轨道滚下，设只滚不滑，5秒内轮心滚过距离s=3m。试求轮子对轮心的回转半径。
图11-43
与习题11-18类似，此处 JC?m?2
maC?mgsin??F (1) 0?FN?mgcos? (2)
12g FT?mg 3322vA?2aAh?2?g?h?3gh
33aA?JC??Fr (3) aC?r? (4)
由式(3)、(4)得 代入式(1) 而
s?1aCt2 2F?m?2aCr2
aC?gsin?
1??2/r22s2?3aC?2?2?0.24
t5- 13 -
即
gsin20??0.24 221??/rgsin20??2?r2(?1)
0.24gsin20?9.8?sin20???r?1?25?1?2512.9658?90.02mm
0.240.2411-21 重物A质量为m1，系在绳子上，绳子跨过不计质量的固定滑轮D，并绕在鼓轮B上，如图11-44所示。由于重物下降，带动轮C沿水平轨道滚动而不滑动。设鼓轮半径为r，轮C的半径为
R，两者固连在一起，总质量为m2，对于其水平轴O的回转半径为?。试求重物A的加速度。
图11-44
重物A
m1aA?m1g?FT
FT?m1g?m1aA (1)
鼓轮B和轮C
JO(??O)??FTr?FR
m2?2aA?FTr?FR (2) R?r m2aO?FT?F
m2aAR?FT?F R?r(3)
由式(2)、(3)消去F得
aAa?m2AR2?FTr?FTR R?rR?r?2?R2m2aA?FT(R?r)
R?rm2?2将式(1)代入上式
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?(m1g?m1aA)(R?r) R?r?2?R2m2aA?m1aA(R?r)?m1g(R?r)
R?rm1g(R?r)2 aA?222m1(R?r)?m2(??R)m2aA?2?R211-22 半径为r的均质圆柱体质量为m，放在粗糙的水平面上，如图11-45所示。设其中心C的初速度为v0，方向水平向右，同时圆柱如图所示方向转动，其初角速度为w0，且有rw0 图11-45 由 maC??F???FN???mg 得 aC???g 由 JC(??)??Fr 得 ??2?g r12mr???mgr 2 vC?v0?aCt?v0??gt ???0??t??0?2?gt r纯滚时 vC?r? 即 v0??gt?r?0?2?gt v0?r?0?3?gt t?v0?r?0 3?g2v0?r?03 vC?v0??gt? - 15 -