的学习是指学习形成这种系统化的数学活动过程,而不是系统化的最后结果。因为系统化的最后结果是一个系统,是一个漂亮的封闭的系统,封闭到没有入口和出口……。学生所要学习的不是作为一个封闭系统的数学,而是作为一项人类活动的数学,即从现实生活出发的数学
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化过程。如果需要也可以包括从数学本身出发的数学化过程……。?而?新数学”的内容是一些经过精心组织的,条理清晰的数学结构,因为这样组织起来的内容便于向学生脑子里嵌入成套的数学结构和逻辑的思考方法。所以对?新数学”来说只能采用?灌输”式的教学方式,学生的参与也只能是被动的。这是一种类似于把学生训练成计算机的教育模式,即学生只能被动的执行程序,缺少留给他们自己发挥主动性和创造性的空间。其结果,不仅在计算方面人无法与计算机相比,相反却极大的抑制了学生主动性和创造性的发展。基于此,弗兰登塔尔强调指出，数学教育不能从已经是最终结果的那些完美的数学系统开始,不能采用向学生硬性嵌入一些远离现实生活的抽象数学结构的方式进行。他认为,即使是儿童,也已经具有某种?潜在的发现能力?,他们的思维和行为方式已经具备了某些教师甚至研究人员的特征,让他们重复人类数学发现的活动是完全可能的。数学教育应当从发展这种潜能出发,从学生熟悉的现实生活开始,沿着人类数学发现的活动轨迹,从生活上的问题到数学问题,从具体问题到抽象概念,从特殊关系到一般规则,逐步让学生通过自己的发现去学习数学、获取知识。 使学生头脑中已有的那些非正规的数学知识和数学思维上升发展为科学的结论,实现数学的?再发现?。
弗兰登塔尔针对?新数运动?提出的观点,在弗兰登塔尔第一部重要的数学教育著作《作为教育任务的数学》(1973)中进行了系统的归纳和阐述。 在?新数运动”这样的重大事件面前,弗兰登塔尔没有盲目附合,而是采取一种冷静和客观的分析态度,他对?新数运动”的分析和评价,后来一一被实践所验证。弗兰登塔尔的看法以及他个人在数学教育领域的巨大影响力,使荷兰最终抵制了?新数学”,不仅免受?新数运动”的折腾,而且保持了本国数学教育改革的平稳发展。这种情形在当时的欧洲和整个世界是不多见的。
上面几个片段,在一定程度上反映了弗兰登塔尔从事数学教育研究的态度。在?新数运动”这样的重大事件面前、对布卢姆、皮亚杰这样?大家”的观点,弗兰登塔尔不是盲目符合,而是首先持一种分析的态度,投以一种探究的目光。弗兰登塔尔的观点也许有可供商榷之处,但他那种孜孜以求,不断探索的科学精神,是值得我们借鉴和深思的。弗兰登塔尔之所以能够成为国际著名的数学教育家,大概可以从这里找到一些原因吧。
（4）弗兰登塔尔亲手缔造了世界著名的弗兰登塔尔研究所。
弗兰登塔尔研究所（Freudenthal Inst）的前身是成立于1971年的荷兰?数学教育发
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展研究所?,简称IOWO。1981年,IOWO归属于荷兰乌特勒之大学,作为一个系级研究所与数学系与计算机系一起组成乌特勒之大学数学和信息科学学院,并更名为?数学与计算机教育
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中心?简称OW&OC。1990年弗兰登塔尔先生逝世后,为纪念这位数学教育研究的先驱者,该
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研究所从1992年更名为弗兰登塔尔研究所。简称FI。这是一个以数学课程发展研究为主,兼及计算机和其它科学学科课程研究的综合性数学课程研究所,弗兰登塔尔先生提出的数学教育思想----现实的数学教育,是该所一切研究工作的理论和实践基础。 5
H.Freudenthal,Way to teach mathematics,so as to be useful,Educational Studies in Mathematics,Vol。1,1968,P6
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英文是Institute for the development of Mathematics Instruction 英文是Center for mathematics and Computer science Education 8
英文是Freudenthal Institute
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FI现有专职研究人员近30人,其中包括数学、计算机科学、物理学、心理学和师资培训、教育学研究方面的专家,另外数学系和计算机系的许多研究人员都兼做FI的研究工作。在荷兰国内和世界其它国家还有许多专家,学者参与FI的研究项目,以FI为主导,形成了一个很大的数学教育研究网络,荷兰教育部也与FI有着密切的联系。 在荷兰,FI的工作对荷兰的中小学数学课程有着举足轻重的影响。目前80?以上的荷兰中小学生正在使用根据FI的研究成果编写或直接由FI研究人员编写的数学课本。
在国际上,FI主持和参与了许多关于数学课程发展的研究项目,目前FI正在与美国,西班牙,阿根廷,奥地利,南非,波利维亚等国合作开展这方面的研究工作,合作范围包括:数学课程设计,数学教材及其教学参考书的编写,师资培训,新教育技术特别是计算机辅助教育技术的开发与推广,数学教育基本理论,数学教育评价等许多方面。与FI有合作关系的国家已达50多个。我国已经与FI建立了联系,但目前尚无具体的合作项目。
3．弗兰登塔尔的数学课程观
弗兰登塔尔对数学课程和数学课程发展的看法可以归结为以下两个基本方面：
（1）数学在本质上是一项人类活动,通过数学课程让学生重复人类数学发现的过程是可能的
?数学是一项人类活动?是著名数学家布劳威的名言..弗兰登塔尔是布劳威尔的学生,并于1930年担任了布劳威尔的助教。弗兰登塔尔继承了布劳威尔的观点,并把这一观点引入数学教育领域.?数学教育需要发展,应以一种新的观点来认识作为教育的数学和数学学习.归根到底,数学是一项人类活动,所以作为教育的数学也要作为一项人类活动来看待.?学校中的数学不是那些封闭的系统,而是作为一项人类活动的数学,是从现实生活开始的数学化过程…….?学生具有?潜在的发现能力?,他们本身的思维和行为方式已经具备了教师甚至研究人员的特征,在他们身上实现重复人类数学发现的活动是可能的.数学教育应当发展这种潜能,使学生头脑中已有的那些非正规的数学知识和数学思维上升发展为科学的结论,实现数学的?再发现?。根据这样的观点,数学教育不能从已经是最终结果的那些完美的数学系统开始,不能采用向学生硬性嵌入一些远离现实生活的抽象数学结构的方式进行.数学教育应当从学生熟悉的现实生活开始,沿着数学发现的活动轨迹,从生活上的问题到数学问题,从具体问题到抽象概念,从特殊关系到一般规则,逐步通过学生自己的发现去学习数学、获取知识得到抽象化的数学知识之后,再把它们应用到新的现实问题上去.按照这样的途径发展,数学课程就能够地沟通生活中的数学与课堂上数学的联系,有益于学生理解数学、热爱数学和使数学成为他们生活中有用的本领。数学课程，应当是引导学生重复人类数学发现的过程、实现数学再发现和再创造的过程的课程。
（2）数学课程应当从学生熟悉的现实生活开始和结束.
根据弗兰登塔尔的观点,数学课程不能从已经是最终结果的那些完美的数学系统开始,不能采用向学生硬性嵌入一些远离现实生活的抽象数学结构的方式进行。数学课程应当从学生熟悉的现实生活开始,沿着数学发现过程中人类的活动轨迹,从生活中的问题到数学问题,从具体问题到抽象概念,从特殊关系到一般规则,逐步通过学生自己的发现去学习数学、获取知识.得到抽象化的数学知识之后,再及时把它们应用到新的现实问题上去.按照这样的途径发展,数学教育才能较好地沟通生活中的数学与课堂上数学的联系,才能有益于学生理解数学,热爱数学和使数学成为生活中有用的本领.
弗兰登塔尔倡导的这种数学课程经过三十年来荷兰几代数学教育工作者的探索和实践,得以不断丰富、完善和发展,形成了今天的富有特色的荷兰现实数学课程。
4．荷兰现实数学课程的特征
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弗兰登塔尔的数学课程观在实践中不断丰富、完善和发展,形成了今天富有特色的荷兰现实数学课程。现实数学课程有如下五个基本特征: a. 运用情景问题; b. 采用模式;
c. 学生自己得出的结论和创造是课程内容的一部分; d. 教学过程重在交流;
e. 不同数学内容相互交织在一起.
上述特征包括了数学教学和学习两个方面，弗兰登塔尔的数学课程观通过这五个方面得以具体体现。其中的两个核心概念是：情景问题、数学化。情景问题解释了数学课程如何从学生熟悉的现实生活开始和结束；数学化则具体指出怎么才能使数学课程帮助学生重复人类数学发现的过程。下面分别做些分析： （1）.情景问题
传统的数学课程内容是作为科学的数学的一部分,它提供的是一些现成的数学结构和结果.按照弗兰登塔尔的思想,这些内容是不能直接用于课堂的.学生应当通过他们自己的再发现重新构建这些数学结构.所以,数学课程应从现实生活出发。具体到课本上,数学课程应当从与现实生活密切相关的情景问题出发,学生在课堂上通过这些情景问题自己去发现数学概念和解决实际问题.
现实数学教育中的情景问题是指那些与学生熟悉的现实生活有关的问题。情景问题是直观的和容易引起想象的数学问题.情景问题的特点是,问题的数学背景包含在丰富的现实情景之中,而且与学生已经了解或学习过的数学知识相关联,特别地,与那些学生已经具有的、但未经训练和不那么严格的数学知识相关联.如果条件合适,情景问题可以就是现实生活中的真情实景.另外,由于情景问题是学生自己作出发现的土壤,所以任何有利于数学发现的问题都可作为情景问题,其中包括一些抽象的数学系统和传说中的故事,神话,童话等等,它们虽不具备真情实景,但同样是学生作出数学发现的源泉,是课堂讨论的基础,学生通过情景问题去发现新的数学概念,通过自己的发现去解决新的情景问题.情景问题是现实数学的出发点,也是学生应用数学的领域.现实世界与数学世界之间,具体与抽象之间的联系就是用情景问题建立并沟通的.现实数学课程的教材内容完全是由这样的情景问题串连而成.可以说,现实数学教育的课本形式就是“情景问题串”。
在本章后面“教材实录”一节，将具体介绍“情景问题”在数学课本中的具体表现。
（2）数学化
数学化是现实数学课程的主题.现实数学课程是关于数学再发现的课程。这里的“再发现”就是数学化.所以,现实数学教育亦可称为关于如何实现数学化的教育.数学化是现实数学教育思想体系中最重要的概念.一般说来,数学化是一种由现实问题到数学问题,由具体问题到抽象概念的认识转化活动,是人类发现活动在数学领域里的具体体现.现实数学课程中所说的数学化,泛指学习者从一个具体的情景问题开始,到得出一个抽象数学概念的教育全过程,具体说来,现实数学课程所说的数学化可分为先后两个层次:水平数学化和垂直数学化. 水平数学化是指由现实问题到数学问题的转化,是把情景问题表述为数学问题的过程.大体包括以下内容:
·确定情景问题中包含的数学成分；
·建立数学成分与已知的数学模型之间的联系； ·通过不同方法使这些数学成分形象化和公式化； ·找出蕴含其中的关系和规则；
·考虑相同数学成分在不同情景问题中的表现；
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·作出形式化的表述；
水平数学化是发现情景问题中的数学成分,并对这些成分做符号化处理的数学化过程,是从现实生活到数学符号的转化.通过水平数学化,一个现实问题转化为数学问题.
垂直数学化是在水平数学化之后进行的数学化,是从具体问题到抽象概念和方法的转化,是建立数学问题与数学形式系统之间关系的过程.垂直数学化大体上包含以下内容: ·用数学公式表示关系; ·对有关规则作出证明;
·尝试不同数学模型的建立和使用; ·对得出的数学模型进行调整和加工;
·综合不同数学模型的共性,形成功能更强的新模型; ·用数学公式和语言精确表述得到的新概念和新方法; ·推广和一般化.
垂直数学化是在数学的范畴之内对已经符号化了的问题作进一步抽象化处理的数学化过程,是从符号到概念的转化.
在经过数学化得到一个新的数学概念之后,还需要对已经得到的概念,模型,技巧作进一步的理解和把握,下面这些活动也是数学化的一部分: ·对得出的结果作出解释和说明;
·对得到的模型和方法的适用范围进行讨论; ·回顾,总结和分析已经完成的数学化过程; ·应用.
在许多情况下,水平数学化和垂直数学化的界限是不那么分明的.
现实数学课程以实现数学化为目标,体现了现实数学教育与传统数学教育的根本区别:传统数学教育是要“教给”学生数学的现成结果,而现实数学教育是要学生自己去再“发现”数学的这些结果.
荷兰从60年代末开始,卓有成效的实现了从传统数学教育向现实数学教育的改革。目前, 目前,百分之八十的小学课本和百分之百的中学(包括初,高中)课本是基于现实数学课程的理念编写的，几乎所有的荷兰中小学生都已经在使用根据现实数学教育思想编写的数学课本。荷兰数学教师队伍的主体,已经由在现实数学教育思想熏陶下成长起来的新一代构成。现实数学教育的思想、观点和教学方法也已经被荷兰政府,社会和大众所接受。纵观世界各国的数学教育改革,荷兰的改革是全面和彻底的。而且值得一提的是,与许多国家数学教育改革过程中出现的轰轰烈烈、大起大落的情形不同, 荷兰的数学教育改革一直以稳定、循序渐
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进的方式进行, 于?悄悄然之中完成了数学教育领域里的一场革命?。今天的现实数学课程已经具有了世界性的影响。对荷兰这样一个教育环境高度自由和教师有充分权威的国家,现实数学教育所取得的支配地位,在一定程度上说明了它的价值和生命力。
在本章后面“教材实录”一节，将具体介绍“数学化”在数学课本中的具体表现。
四． 荷兰最新的(5-15)数学课程目标
荷兰颁布的新数学课程目标充分吸收了现实数学课程的理念和实践。在93年之前,荷兰没有一般意义上的国家数学课程标准.从98年起,荷兰政府教育与科学文化部开始颁布全国统一的“教育获得性目标” (attainment targets),这是一个类似于我国国家课程标准的政府文件,具体刻划了荷兰中小学生毕业之前必须学到的内容和应当达到的起码标准。
“获得性目标”分为跨学科目标(cross-curricular attainment targets),每个学科的 9
A.Treffers,(1991)Realistic mathematics education in the Netherlands 1980-1990,Realistic mathematics education in primary school,Tech。Culemborg,P.11。
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一般性目标和具体课程目标三个目标层次。因文字不多,故分小学和中学逐一完整介绍,除中间作一些必需的解释之外,最后再一并作出评述。
1．小学(5-12岁)
小学阶段的跨学科目标
跨学科目标是任何一门课程都应当指向的目标.是基于教育应当有助于学生情感和认知的发展,应当有助于学生创造性和探索精神的发展,应当有助于学生形成在社会生活中有用的技能等方面提出的。具体分为6个方面: 工作态度
（1）学生对他们周围的世界感兴趣并且主动去探索这个世界: a。他们能提出具体的问题;
b。他们能找出问题中相关的关系并加以运用; c。他们喜欢学习新事物;
d。即使不能马上成功,他们也不会轻易放弃。 按计划工作
（2）学生能提出计划并根据这个计划采取行动: a。他们能把一个目标形式化;
b。他们能使自己置身于一个计划当中;
c。他们能弄懂什么是形成一个简单问题的原因及其影响; d。 他们能根据c得出有关的结论;
e。他们能一步一步的组织和开展更大一些的活动; f。最后,他们能对自己的计划好不好作出判断;
g。他们能通过解释、谈话、书面或其它方式提供和展示他们的成果。 运用多种学习策略
（3）在开展学习活动时,学生能使用多种学习策略和技巧。 a。他们能把自己的精力集中在问题上同时也要求别人这样做; b。他们能依据观点对实事作出分类;
c。他们能从其它来源,包括象词典、地图册、资料等等搜集和处理有关的信息; d。他们能一起工作,相互之间展开讨论并得出共同的结论; e。最后,他们能对自己的策略好不好作出判断; 自我认识(Self-image)
（4）学生能学会了解和把握自己能力的可能性和极限。 a。他们有自信;
b。他们能控制自己的冲动行为;
c。他们能够和敢于为保护自己的利益挺身而出。 社会行为
（5）学生能作为集体的一员为集体作出积极贡献。 a。他们能尊重他人;
b。他们的行为遵从一般的社会规范和价值观; c。他们尊重不同的宗教和文化; d。他们敢于当着众人的面发言; e。他们尊重他人的情感和愿望; f。他们敢于支持个人的不同观点; g。他们能对承担的任务负起责任。
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