5 & 6 A2(经济和社会) 600 微积分及其应用 80 离散数学方法 40 线性规划 40 图与矩阵 ? 40 统计与概率 ? 80 选学内容 40 B1(科学和健康) B2(科学和技术) 600 760 微分和积分 120 (1。和与差,距离与速度,2。微分的技巧,3。极值,5。积分) 三角函数 40(4。循环与周期函数) 微分方程初步 40(7。连续动力系统模型) 分布和检验 40 其它题材 40 高等几何 120 (可根据需要给上面内(2。关于圆和直线的思考A, 容适当增加的时间) 3。关于圆和直线的思考40 B, 4。冲突与镜面反射) 高等分析 80 (6。加速运动的数学模型, 8。无限的规则) 选学内容 40
其中4,5,6年级相当于我国的高一到高三年级，打?号的部分可供A1(文化和社会方向,360学时)使用。
教材中采用的情景取自于物理,化学和生物科学以及数学史的素材,概念的提出沿着从离散到连续的方向发展。这套教材具体课程目标是:
? 揭示数学与物理,化学和生物科学之间的联系。 ? 掌握物理,化学和生物科学所需要的基本数学语言。 ? 理解数学无论过去和现在都是一项人类活动。 ? 运用科学计算器和几何画板,Cabri等数学软件。 ? 实现数学化
以几何为例。Profi四册几何教材的每一册都围绕如下五个方面展开：
建模：揭示数学模型如何从现实源泉中间产生，数学模型与现实之间的相互关系与内在联系，及数学模型的意义。
抽象: 与建模紧密相连，揭示数学模型如何以自然的方式导向数学概念和理论，以及在这个过程中，现实源泉又如何渐渐从背景中消失。
推理:揭示数学推理的多种途径，纯粹的演绎证明很少，从具体情景出发,或同时从前提和具体情景出发做出的推理（如位置推理等）比较多。
综合：平面和立体几何交织在一起，直观和非形式化的内容多，与现实联系的紧密,每个素材均指向对空间的理解和把握。 技术：计算机和科学计算器是必不可少的教学工具。 具体内容主要取材于:矩阵几何，综合几何和分析几何。
Profi的内容贴近学生的生活体验,生动有趣。每一册都是从内容丰富的情景开始，以实现数学化为目标，着眼于如何从现实情景出发实现数学化,如何从实际生活进入数学的抽象层面，看上去引人入胜。例如“冲突与镜面反射”一册，从欧洲北海沿岸不同国家如何在北海上划定边界这一令人兴味十足的情景开始，引出了“冲突线（曲线）”的概念，通过这一具体问题逐步发现了抽象的“Voronoi图”及其作用。整个教材以问题串的形式呈现，引导学生在延绵不断的探索过程中，对实际问题不断作出简化，逐步发现一些基本规则，然后对这些规则附以逻辑的证明，并通过他们去发现和证明一些更复杂的结果。
限于篇幅，这里的介绍只能是粗略的，仅可尽管窥之功。但不难看出，现实数学课程，无论是课程目标还是结构内容与我们目前高中课程的思路都不太一样。要从这样的教材中找出几个我们熟悉的高中数学知识点不大容易，想通过这一类探索过程形成某种基本技能也有点难。它的引人入胜之处在于提供了可供学生探索的广阔空间。而且它的每一册都是这样的风格，可以想象，在这样的教材持续不断的熏陶之下，学生是会形成一些与发明和创造相关的资质的。
目前我国基础教育课程改革的势头强劲，针对传统数学课程“繁，难，偏，旧”的积弊，新的高中数学课程毫无疑问的增加了与培养创新意识有关的方法和素材。因此，现实数学课程的经验值得我们思考。
五、荷兰数学教材实录
荷兰的数学教材种类比较多，下面着重介绍由Freudenthal研究所开发和由Freudenthal研究所的研究人员编写的教材。
1．《情景数学》(Mathematics in Context)
《情景数学》是在美国国家科学基金会(NSF)资助下,由美国Wisconsin-Madison大学Wisconsin教育研究中心和荷兰Utrecht大学Freudenthal研究所以国际合作的方式共同开发的一套供5-8年级(10-14岁)学生使用的数学教材。这套用英文出版的荷兰的教材，充分反映了荷兰现实数学课程的特色。了解和研究这套教材,对把握国际数学课程的改革与发展是有借鉴意义的。
（1）《情景数学》的产生
NCTM数学课程标准问世以后,NSF邀请NCTM提出具体计划,开发反映NCTM数学课程标准的美国初中（10-14岁）数学课程.与传统的数学课程标准相比,NCTM标准的核心是强调学生数学学习的主动性,主张数学是引导学生通过自身的努力去了解周围现实世界的途径.但当时美国自己在这方面的经验也不多,他们就广泛研究了其他国家的数学课程经验。在这个过程当中,荷兰的经验吸引了美国人的注意.当时的荷兰,以Freudenthal为先驱的Freudenthal 研究所提出了完整的现实数学教育理论,并且积累了30 多年用现实生活中的情景帮助学生学习数学的经验,已经开发了一系列与学生的现实生活紧密关联的数学课本.这些都与NCTM数学课程标准的初衷十分吻合.于是情景数学(Mathematics in Context) 这样一个计划产生了:荷兰Freudenthal研究所与美国Wisconsin-Madison大学合作,共同开发一套即符合美国NCTM数学课程标准,同时又体现荷兰现实数学教育思想的数学教材.这项计划在NSF资助之下,从90年开始启动,Freudenthal研究所负责编写最初的课本, 然后由Wisconsin-Madison大学的研究人员和教师在美国8个州50多所中学开展实验,在反复论证和充分吸收广大中学教师和学生建议的基础上，这套名为《情景数学》的数学教材于1998年正式出版.
（2）《情景数学》的课程目标
《情景数学》在课程目标方面首先考虑的是社会对数学的需求已经发生了的变化.事实上,数学发展一方面基于人的聪明才智,另一方面基于人们在解决实际问题时积累的经验.几十年来,人们对数学的需求已经发生了很大的变化,大多数人今天需要的数学已不仅限于严格的几何知识和对一些基本算法的理解和掌握了.人们广泛需要的是与日常生活密切相关的数学,如读懂随处可见的图型图表,分析统计资料,搞清包含在各种媒体里的数学信息等等.即使要有效的管理好自己的钱物,也不是仅仅依靠简单的机械计算能解决的.在职业和工作方面,人们需要比几何和算术更复杂的数学知识帮助解决决策方面的问题,以及借助计算机处理日常工作等等.所以,今天的数学不仅仅是一个与数量问题有关的计算工具,而且是帮助人们理解人类自身活动的一个一般性工具.情景数学的课程目标充分考虑了这些已经发生的变化,在更广泛的层面上提出自己的目标,其中所包含的数学内容,任务和问题都是围绕发展学生的自主探索能力和有利于引导学生讨论展开的,这一课程的目标是希望使学生能： ? 自主探索不同数学对象之间的关系. ? 发展和解释自己解决问题的思路和方法.
? 合理使用相应的工具(如计算器,计算机软件)帮助解决问题,
? 能相互倾听,相互理解,并能对他人的思想及方法做出客观的评价.
传统的数学课程体系里,学生的角色往往是被动的.而这个课程目标的指向是让学生在解决实际问题的过程中学习数学,通过学生的自主探索,发展和解释学生自己解决问题的思路和方法, 显然,这一课程目标赋予了学生更广阔的思考和活动空间.如果课程着眼于解决实际问题的过程,对数学的理解与个人的生活体验之间那种不可分割的联系就会突出出来.如果数学课程本身与现实生活中学生熟悉的情景联系密切,这些情景和其中的问题就会成为激励学生积极探索的丰富源泉,学生就有了充分的机会发展和运用属于他们自己的方法解决实际问题.在大量内容丰富的情景中认识,理解和发现数学,学生就不会象在传统的教室里那样仅仅是被动的知识接受者了. 这个课程目标值得我们深思.
（3）《情景数学》的内容
从这套教材的名称大致可以窥见这套教材的内容,即从学生熟悉的情景出发学习和应用数学.这与从数学概念出发的传统数学教材有着很大的不同.
(i)《情景数学》的整体结构
《情景数学》是供5-8年级使用的,每个年级有10个单元,每个单元一册,4个年级共40个单元40册.每册的标题都很有意思,有的直指该单元的内容,如Dealing with data─资料的搜集与整理; Expressions and Formulas─表示和公式.有的标题则是指纯粹的情景,不进入具体情景则很难揣摩该单元包含的具体数学内容.如 Dry and wet Numbers(干数和湿数)这个单元讲的是正数和负数; Cereal Numbers(麦片数)这个单元的内容是分数,小数,百分数,比和比例的综合运用等等.下表将每个单元的标题依该单元的内容译出,并将原英文标题一并列出.由于每个单元的内容很难用一两个知识点概括,所以汉语标题所做的翻译是不太准确的.原标题则基本是以该单元依据的主要情景命名,两者结合起来可大致看出该单元的数学内容是包含在怎样的情景之中.
年级 数 分数,百分比,小数,比例 分数运算 (Some of the parts) 小数 (Measure for Measure) 百分比(Per Sense) ☆比 (Grasping Sizes) 分数与百分比 (Factions Times) 分数小数与百分比混合运算 (More or Less) 比和比率(rations and Rates) 代数 代数,整数, 模式 模式和符号(Patterns and Symbols) ☆正数和负数 (Dry and wet Numbers) 几何 几何和测量 ☆视图 (Side Seeing) 坐标与方位 (Figuring all the Angles) 统计 统计和概率 ☆图形与信息(Picturing numbers) 机会和可能性 (Tack a chance) 5 6 表示和公式(Expressions and Formulas) 信息与曲线图 (Tracking Graphs) 解方程组(Comparing Quantities) 正负数的运算( Operations) 图表和曲线图 (Ups and Downs) 模型与公式(Building Formulas) 不等式 (Decision Making) 不规则图形的面积计算(Reallotment) ☆标准和非标准的测量单位 (Made to Measure) 信息处理方法 (Dealing with data) 7 数的应用 (Cereal Numbers) 10 的幂 (Power of Ten) 平面和立体图形 (packages and Polygons) 三角形的性质(Triangles and Beyond) 三角比(Looking at an Angle) ★相似三角形(Triangles and Patchwork) ☆★直角三角形和勾股定理 (Going the Distance) 图与矩阵 (Ways to Go) ☆数据分析(Statistics and the Environment) 8 ☆★数的算法分★坐标 析(Reflections (Graphing on number) equations) ★二元一次方程(Get the Most Out of It) ★数列(Patterns and figures) ☆★函数(Growth) ★信息的图形表示与分析(Insight into Date) ☆★数系与信息处理(Digging Numbers) ★样本和总体(great Expectations)
这套教材共40 个单元,是为5-8四个年级使用设计的,但也有一定的弹性, 如每个年级减少若干单元,成30 个单元时即可供3个年级,如6-8年级或5-7年级使用.打☆号的单元即为6-8年级使用时建议减少的单元,打★号的单元即为5-7年级使用时建议减少的单元.减少之后成30个单元供3年使用. 《情景数学》在内容上包括数,代数,几何和统计四个系列,每个单元的内容都以相互交织的形式出现,包括这四个系列中的一个或多个方面的内容.下面这张图以40个单元为例,指出各个单元之间的前后联系和相互之间在内容上的的综合关系:
内容 数 分数 百分比 小年级 数 比例 5 分数运算 小数 百分比 ☆比 分数与百分比 分数小数与 百分比混合 运算 比和比率 数的应用 10 的幂 ☆★数的 算法分析 代数 代数 整数 模式 模式和符号 ☆正数和负数 几何 几何和测量 ☆视图 坐标与方位 统计 统计和概率 ☆图形与信息 机会和可能性 6 表示和公式 信息与曲线图 解方程组 正负数的运算 7 8 不规则图形 的面积计算 ☆标准和非 标准的测量 单位 平面和立体 图表和曲线图 图形 模型与公式 三角形的性质 不等式 三角比 ★坐标 ★相似三角形 ★二元一次方程 ☆★直角三角形★数列 和勾股定理 ☆★函数 信息处理方法 图与矩阵 ☆数据分析 ★信息的图 形表示与分析 ☆★数系与 信息处理 ★样本和总体
（ii）《情景数学》单元简介
限于篇幅本文只任选一个单元介绍,其他单元大体上都是这种样式.
Ups and Downs(图表和曲线图) 这个单元是7年级代数系列中的一个单元,原标题直译应为 “上上下下”,大约供6节课(每课时45分钟)左右使用,学生用书共54页,分5个部分,目录如下:
A.生长的区别: 年轮;成长;树的护理;石油污染;向日葵;儿童成长对照表;沙漠需要的水;小结.
B.循环: 钓鱼;潮涨潮落;金门大桥;空调;骆驼;血压;跑道;小结. 马拉松;头发和指甲;租辆摩托车;小结. C.越来越快; 一种非洲水生植物;细菌的细胞分裂;睡莲;小结. D.半衰期: 打对折;药的吸收;碳14;小结. 从目录可以看出,该单元的每个部分都是由一些内容丰富的情景构成.学生通过观察和比较,运用图表和曲线图对包括与植物生长,人体增长等现象有关的资料进行分析,了解自然现象依时间而发生或快速或缓慢的真实变化.伴随着讨论的不断深入,通过树的生长,人的头发和指甲的生长的例子,使学生越来越多的发现公式作为研究线性变化的工具作用.再加上摩托车租费一类的例子,学生对线性变化的理解进一步细化,这也为学生在后面的单元学习斜率,切线等概念做了准备.通过分析潮水的涨落,血压与脉搏次数之间的关系以及赛车在赛道上的速度等一系列具体情景,学生开始对周期函数的概念有所了解.结合对速生植物和细胞分裂现象的探索,学生可以在不那么严格的水平上发现呈指数增长的数学模型.并且能不断发现加法与线性增长和乘法与指数增长之间的关系等等.这样的讨论,能帮助学生读懂报纸,杂志和广告中以图表,图形,曲线图形式出现的形形色色的数据信息,并逐步发现和理解蕴涵在丰富情景中的线性函数和指数函数模型,掌握用图形和公式表示函数关系的方法.这个单元涉及的数学知识包括:线性函数,非线性函数,递增函数,周期函数,指数函数等等,重点是运用图表,曲线图和公式理解和表示关系的方法.
情景数学的课本是问题串的形式,例如这个单元中的A部分包括45个问题,B部分21个问题,C部分43个问题,D部分19个问题,E部分19个问题,整个单元就由这总共147个问题串联而成.问题与问题之间由讨论连接. 例如A部分中的第一个情景是美国California国家公园那些具有3,4千年历史的巨树,第一幅插图上16个孩子手拉手才环绕住一棵大树的树干,这个单元的第一个问题是 :
“试着找到一个方法估计这棵树的树围和直径.”
接下去的问题差不多都是这种形式,即需要经过思考,需要大家讨论才能回答的问题.
另外情景数学的课本中包括大量绘制和印刷都很精美的插图,他们是这套教材不可或缺的组成部分,上面关于该单元文字内容的概括性介绍,显然还无法反映情景数学的全貌.
（iii）《情景数学》单元实录:
单元一：《十的幂》（Power of ten）
数是与现实生活联系最紧密的数学内容。通常我们比较关注的是数的计算。然而数的作用主要不在于算,特别是不在于精确计算。对数的理解和感悟即所谓数感(number sense)更重要,更有用。那么“数感”是什么?应该怎么教、怎么培养呢? 下面的素材选自《情景数学》中供7年级用的“十的幂”（Power of ten）这一册,内容包括正整数、负整数幂和科学计数法。共分6个部分，这里是其中的第四个部分D:
D．100万有多大 这一节的内容与100万有关。100万美元,100万秒,等等。一个人完成下面所有的问题恐怕要花很多时间。可以分成小组,每个小组讨论其中的一部分问题。然后每个小组把你们是如何解决问题的向全班作一个报告,报告不仅要有结论,更重要的是要有说明。 1。a。假设你所在的城镇年度盈余100万美元, 并将把这比钱平均分给每个居民,每人能分多少? b。100万个25美分硬币能摞多高? 2。106个字母能占多少页的篇幅? 3。a。一个人的生命能达到100万秒吗? b。100万天以前发生过什么? 4。 106步能走多长的距离? 5。a。100万张1美元的钞票能摞多高?