b。用10美元一张的钞票100万美元能摞多高? c。用100美元一张的钞票100万美元能摞多高? d。几年前一位美国流行歌星被指控私自携带 200万美元去古巴。指控认为这200万全是 100美元面额的钞票是被塞在一个小旅行 箱里带走的。当一位记者向这位歌星询问 此事时,他回答道:“如果你认为我这个小 行李箱能装那么多钱,我将送你200万。” 你认为存在这样的箱子吗? 6。从1数到106需要多少时间? 7。多大的仓库能储存106块砖? 8。假定你的自行车安装了一个计数器, 纪录自行车前轮的转数。计数从0开始, 达到106时你大约骑行多远的距离? 9。你认为你一生阅读过106个词汇吗? 是更多还是更少?
简短评述:
（a）我们的教材通常比较重视小的数,认为只要把小的数概念和计算搞清楚了,大的数自然不在话下。其实事情没那么简短。研究证明,生活实践中大数的使用和出现频率要远远多于小数。从不同侧面不同角度去理解和把握一个大数,更有利于学生理解数的意义,建立数感。这一点是学生正确、合理运用数的概念的基础。《十的幂》形象的告诉我们什么是“数感”以及如何建立“数感”。
（b）上面的素材在教学时间和要求方面的弹性很大,看起来不大好评价。在我们的教材体系中类似的内容和类似的处理方式尚不多见。介绍这样的素材并不是说我们也要这么作,但我们一定要想一想他们为什么这么作?为什么围绕100万下那么多功夫!其实也可以把问题反过来考虑，如果数感是学生正确、合理运用数的概念的基础，是对学生有用的数学，教材编者恰如其分的选材和处理不能不令我们钦佩。
单元二：“影子的故事”（Going the Distance）
数学教材中三角比概念的给出通常是从分析抽象的直角三角形开始,其实从有趣的情景出发更容易让人接近. 下面的素材选自《情景数学》，这一册的题目是《影子的故事》,内容包括视线,投影,视图,三角等等.共5个单元.这里是其中的第三单元C:
C.阴影和角 位于New Mexico州的Acoma Pueblo被认为是美国最古老的村庄.她以其美丽的陶器和建筑而闻名. 通过对古陶的研究,人类学家认为这个村庄至少已经在这里存在1000年了!上面是这个村庄的全景图,她仍然保持着100年前的样子. 左图是这个村庄主要街道的典型建筑. 照片是早晨拍的. 1.下午时阴影会是什么样? 一般地,这里的建筑没有前门.人们通过梯子直接进入二层.依墙而立的梯子形成不同的角度.有的陡一些,有的平一些.测量梯子的陡度并不难,有好几种方法可用.我们先来认定一个事实:太阳光线是平行的.
这里我们画出了照片上第一个梯子.它显示出光线是平行的. 2.用练习页16,对梯子的每一个阶梯画出光线及其产生的阴影. 3.这是同一个梯子在同一天不同时刻的情形,用练习页17,对梯子的每一个阶梯画出变化后的光线及其产生的阴影. 这是34页照片上离我们最近的那个梯子的侧视图 图中的高度(h)是2.3米 4.a.根据图估计一下距离(d). 角通常要命名.一般是用希腊字母. 第一个希腊字母是?;第二个希腊字母 是?;第三个希腊字母是?. b.测量角?. 这是比例相同的第二个梯子的侧视图. 5.a.用问题4提供的信息帮助你 估计这个梯子的d和h. b.测量这个梯子的?角. 6.为什么h和地面之间的角度一定是90. 7.画出下列梯子: a.?=45;测量h和d. b.h=2,d=1;测量?. c.?=30,测量h和d. *梯子的陡度非常重要. 8.如果梯子放的太陡会出现什么问题? 9.如果梯子放的不够陡会出现什么问题? 这里至少有两个好方法用来测量陡度 10.复制下面的表,用问题4,5,6的结果填表 填表时注意把数据按从小到大顺序从左 至右排列. 11.用问题10中的表在如左的坐标系上画出 曲线图. 12.说明该曲线图给出的信息. 有人说: “当梯子的比率大于2小于3时在 梯子上是安全的.” 13.这对角度意味着什么?
小结 角度越大,阴影越短(指光线和地平线之间的角). 光线越陡,阴影越短. 陡度可用不同的方法测量: *通过角度(角度越大,梯子越陡) *通过高度和距离之比:h:d(比率越大,梯子越陡)
简短评述:
(a）过程就是这么重要,它从有趣的背景出发,经过一连串问题,不知不觉已经来到抽象概念的门口.接下去要讲的内容不用说也知道,h:d不就是tangent 么?虽然不够直截了当,这个功夫下的有道理.
(b)通常三角比要从sine讲起,而这个教材肯定要从tangent讲起了.国外许多教材都是这样,都是从正切而不是从正弦开始讲三角比.上面的题材帮助我们弄清了其中的原因:从分析抽象的直角三角形开始,当然先接触sine;从“梯子,陡度”这样一些情景出发,首先遇到的无疑是tangent.
(c) 《影子的故事 》形象的告诉我们，先讲sine还是先讲tangent不重要,重要的是教材从哪里切入:从现成的结果到抽象的系统,还是从丰富的情景出发,经由数学化的过程,再进入抽象的系统.切入点不同,面貌自然相异.后者听起来很美妙,但做起来很难,需要一个很深厚的数学课程研究基础和数学教育观念上一个大的转变.无论如何,只要我们把学生作为学习的主体,就要对传统的学科课程体系加以平抑,多多少少加点过程,加点学生感兴趣的,有意义的数学. （4）《情景数学》的几个特点
《情景数学》的特色鲜明,以下几点尤其值得注意: (i)把情景问题作为支撑和激励学习的源泉
《情景数学》遵循的是弗兰登塔尔（Freudenthal）和Freudenthal研究所的现实数学教育理念. 弗兰登塔尔最重要主张是“数学是一项人类活动”. 即数学不仅是一个学科同时也是一种思维方式,一项人类活动,是一种所有学生都能掌握的活动方式. 《情景数学》中的数学不是一个固定的,每个知识点以孤立形式存在的知识体系,这里看不到一般传统数学教材提供给学生的那些复杂规则和性质的集合. 《情景数学》中的数学被设计成一个必须通过应用的方式来学习的生动活泼的学习科目,学生从自己熟悉的生活出发学习数学和应用数学.现实生活中的情景成了数学学习的出发点和归宿,这些情景提供了学生学习和应用数学的多种多样的途径, 是支撑和激励学习的源泉.把数学视为帮助学生理解他们周围世界的工具,当然是通过生活来学习数学最好.
(ii)把数学化作为目标
弗兰登塔尔主张数学教育应当是关于数学”再发现”的教育、即数学化的教育.的确,比学生死记硬背算法和法则更重要的是学生自己作出发现,即数学课程应当引导学生自己重新发现那些客观上已经存在,但对学生来说是“新”的数学概念.为了实现这一点, 《情景数学》把属于学生自己的,不那么严格的数学知识和经验作为发现的基础,把交流作为数学学习的基本方式.通过同学之间,师生之间的相互交流和讨论不断发现新的数学事实和结论.这种相互交流是实现数学再发现所必须的一个组成部分. 《情景数学》在内容上为学生提供了作出发现之前,中间和之后都能相互交流的渠道.而通过不断发现蕴涵在丰富情景中的一些基本数学模型,可以把抽象的,不那么抽象的和具体的解题策略联系在一起,这样的模型沟通着现实生活中的具体世界和数学知识的抽象世界之间的联系,从而使学生可以在不同的抽象水平上获得概念和解决实际问题. (iii)鼓励学生运用属于他们自己的经验和策略 《情景数学》在设计上认为当学生在学习一个新的单元之前,对即将接触的新内容是不陌生的和已经有所体验的,所以鼓励学生从他们自己的经验出发,运用属于他们自己的方式和策略,寻找解决问题的方法.而教师的责任主要在于引导学生通过讨论发现和整理属于他们自己的不同形式的解题策略.在这样的过程中,学生不断丰富对数学的理解,通过对自己的和别人的解题策略之间的比较和分析,不断提高选择合理的解决问题策略的能力. 《情景数学》把学生自己的那些非正规的方法作为正规教育内容的一部分,而不是要求学生按他们完全不懂的严格过程操作,容许学生尽一切努力,通过多种多样的途径不断作出新的探索.
(iv)重要的数学事实被延绵不断地揭示和逐步掌握
《情景数学》在低学段的单元,给学生提供各种各样的机会使他们可以通过非正规的方法解决问题.到了高学段的单元,则给学生提供更多的机会使他们能逐渐向严格的数学靠拢. 《情景数学》把重要的数学知识内容融会在学生自己非常熟悉的现实生活当中,使学生在一个广阔的领域里认识,理解和发现数学关系,学习如何使用数学语言,如何和何时正确的使用图形计算器和计算机软件等技术手段.单元之间是紧密相连的,在这个单元介绍的题材,在后面单元还要不断出现,重要的数学概念通过整个课程不断被揭示和逐步掌握.
(v)改变了教师的角色
这种变化体现在两个方面;一是教师在课堂上的地位变了.教师的传统地位是知识的传授者.在《情景数学》的学习和教学过程中,教师的角色是引导者和帮助者.学生在教师的引导下,通过他们自己的发现学习数学.在他们没有理解蕴涵在具体情景中数学模型的意义之前,教师不会通过简单的传授使他们被动的重复和接受他们并不理解的东西.二是教师备课的形式变了. 《情景数学》中的许多概念和模型对老师来说也是不那么熟悉的.为了理解这些概念并知道他们的来龙去脉,教师必须象学生一样熟悉每一个单元.教师之间要不断交流,分享彼此的体会,这一点与学生学习的方式非常相似,交流成为教师备课的主要方式.沿着这个过程,教师会提前遇到学生可能遇到的困难,会更完整的理解和评价每个单元的目标.并且能启发教师提出有益于提高学生学习水平的新素材和其他活动方式等等.教师备课的空间变的宽阔了.
目前,世界上的新数学课程,新数学教材很多, 《情景数学》只是其中的一种,但属于面貌变化比较大,比较有新鲜感的一种.对于我国正在进行的新一轮数学课程改革来说, 《情景数学》为我们提供了一种与传统数学课程大相径庭的参考样式.它的积极意义在于,让我们看到了我们一直希望实现的诸如培养学生的创新意识,树立学生的主体性等目标的确可以通过数学课程来实现.但中国和美国,荷兰的历史传统,文化背景不同,他们的成熟经验我们如果照搬过来则未必好用.我们应当关注的是:在《情景数学》中,作为教育的数学和生活中的数学是怎样联系在一起的,数学是怎样包含在具体情景之中,又是怎样被逐步发现出来的.以往我们缺乏这样的研究, 《情景数学》为我们提供了这方面经过验证的实例.相信这对我们正在进行的数学课程改革和正在编写的教材肯定有用. 2．《直观信息》（Date Visualization）
一提起数学课程中的信息分析似乎总是很技术性的课题,好象总要用到概率、数理统计或动用计算机才行.其实，信息的获取和表示若能以直观的形式呈现可能更有用,更能体现信息和信息分析的作用与教育价值. 以下素材选自美国Wing for learning 出版社98年出版的一种高中文科用的数学教材《直观信息》(Date Visualization).讲的是以直观为特点的信息分析,整理和运用.全册共8章，这里选译的是第一章?世界统计?中的两个例子:
一.世界统计 ……. 1.2都市化 都市化是指越来越多的人居住在城市里的一种趋势.下图给出了中国1949和1980年的都市化状况: 6.1949,1980各有多少中国人生活在城市里?这些年生活在城市的人口比例各是多少? 当研究都市化问题时,有两个因素特别关键: ? 人口增长率 ? 都市化的趋势 7.这两个因素哪个对中国更重要? 下图给出了1900到1980整个世界的都市化状况: 8.1900年发达国家66%的人口生活在郊区.不发达国家的百分比如何? 9.对下面两个结论作出评述: ?1900年超过80%的人口生活在郊区.? ?1980年发展中国家和发达国家的城市人口相同.? (译者注:问题10到16 与该教材封一上的世界人口分布图有关.这个图的设计者说:?到2015年超过一半的世界人口将生活在城市.”)
10.这个结论与上图吻合么? 11根据对上图的研究,你能画出1950和2025年的条形图吗? 这种图也能告诉我们大城市的都市化状况.以Mexico城为例: 12.上图告诉你什么? 13.举出一些城市,他们的人口从1985到2000将成倍增长. 14.列一个2000年世界十个人口最多城市的表.
15.是否存在人口减少的城市?如果有,你将如何在图上表示. 1.3每年的新生儿 下图中每个国家的面积由该国每年的新生儿数字决定: 阴影部分表示每个育龄妇女生育孩子的平均数(白色低,黑色高) 16.图中哪个国家的面积大大超过真实的地图面积?这其中意味着什么? 17.哪个国家被画的非常小? 18.估计一下美国每年的新生儿数字.与印度一样吗?
简短评述:
(1).虽然这是数学教材的内容,却有点政治或社会课的味道.\都市化\新生儿\其实都是很敏感的社会题材.特别是其中还引用了中国的素材,中国人看了，多少感到几分刺激，会感叹美国的教材为什么拿中国的?都市化?说事儿？！但对这些素材的形象化处理, 的确令我们深思，这段教材对\都市化\问题的思考，使我们自己深切的感到，50年到80年那二十年中国的都市化状况几乎没有改善，发展缓慢，耽误的时间，多么令人可惜。同时，我们也有理由设想,如果能把中国在2000年的都市化状况也摆上去的话, 不用太多的解释，中国在过去20年里产生的变化, 就一目了然。 数学能直观形象的告诉我们改革开放对中国发展的作用和影响，这会对学生产生多么大的、来自数学的冲击力！
(2)．问题串的形式真是抓人,以这样的形式学习这样的内容,学生大概不会溜号.每个人都会得到充分思考的空间, 而且既要动脑又要动手.虽然这段内容包括的知识点是什么似乎一下子说不大清楚,但里面的数学还是真不少:比,比例,心算,估算,做图,预测,推断都有,虽然都比较\初等\但处理的问题都挺\高级\。毫无疑问，这段?统计?教材里没有多少抽象的统计与概率，但的的确确是数学，而且是有用的数学。
(3).把世界地图上每个国家的面积改用新生儿数字的大小表示我们是初次看到,值得借鉴.不妨设想在我们的教材中把中国地图也作这样的处理,除讨论人口之外,还可以讨论人均GDP、水资源,森林资源,能源,粮食,交通,住房面积……题材真是太多了,相信一定非常有吸引力,非常有意义.看来,在较高学段,数学课程内容也可以贴近学生的生活，这样的内容不仅使学生了解了数学的广泛用途，同时也会引起他们非常多的思索，使学科教育和素质教育融为一体。
六、荷兰数学课堂实录
本节记录的是在通常的荷兰学校里看到的数学课堂，都是笔者亲历的情景。这里“通常”的意思是指笔者访问的学校都不是特意挑选的，在荷兰的同一个社区里，这样规模和配备的学校要有好几所，不同学校的师资和设备条件彼此都差不多。所以，在这样的学校里看到的数学课堂，可以反映荷兰中小学数学课堂的一般情况。
1．荷兰小学数学课堂实录
这是荷兰乌特勒之市一所学校的数学课堂。在这所设施相当先进的学校里，没有我们非常熟悉的教研室、年级组办公室。教师的活动场所几乎和学生一样，都是在教室。说“几乎”一样是因为学校还备有专门的教员休息室，那里的设备、陈设有些象咖啡厅，非常舒适。供教师开个小会、讨论业务或课间、午间休息之用。不仅教师没有办公室，校长的办公室依我的眼光看也太狭小，所以和校长的谈话是在校长的教室里进行的。这所学校的校长不是全职的，每周也要上几次课。依我看，没有供校长、教师工作和活动的宽敞办公场所不是因为经济拮据所致，一方面是纳税人的钱要用在纳税人的孩子身上，所以教室、走廊和学生的活动场所漂漂亮亮、宽宽敞敞，更重要的这是一种办学理念的体现、是教师角色的要求，那就是教师要更多的和孩子们在一起，教室是学生的同时也是教师在学校的基本活动场所。
我访问的是8年级学生的课堂。荷兰的8年级相当于我国的小学5或6年级。老师莱恩（Rein）是三个孩子的父亲，他有着浓密大胡子和和蔼的笑容。每天学生到校之前（荷兰的小学一般是上午9点开始上课，下午3点放学，中间午休一小时），他已经早早来到教室，准备一天的工作。学生放学回家后，他还要批改作业、记录学生一天的活动情况、整理教室、约家长谈话等等，把一切事情处理完毕，学校几乎空无一人的时候他才走。而他的家离学校有差不多2个小时的车程，每天他要在路上往返奔波4个多小时，这比我们每天在天津和北京之间奔波还要辛苦。但当我为此而感叹时，他诧异的目光表明他本人早已对此习以为常了。
莱恩是一位有30 多年教龄，资深、称职的教师。说他称职，不仅因为他有如此长的教龄，而是由于我在他的教室里所看到的一切。我在莱恩的课堂上听了许多课，下面是其中的几节：
（1）一节“活动课”