2015届高三理科数学综合训练6
1.如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点.（1）求证：AA1?4，AC?BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1; （3）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.
2.A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量x1和x2。根据市场分析，x1和x2的分布列分别为：
x1 P 5% 0.8 10% 0.2
x2 P 2% 0.2 8% 0.5 12% 0.3 （1）在A、B两个项目上各投资100万元，y1和y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差Dy1、
（2）将x(0?x?100)万元投资A项目，100?x万元投资B项目，f(x)表示投资A项目所Dy2；
得利润的方差与投资B项目所得利润的方差的和. 求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取到最小值.（注：D(ax?b)?a2Dx）
3.已知离心率为
3的椭圆C1的顶点A1,A2恰好是双曲线x232?y2?1的左右焦点，点P是椭圆上不同于
A1,A2的任意一点，设直线PA1,PA2的斜率分别为k1,k2.（1）求椭圆C1的标准方程；（2）试判断k1?k2的值是否与点P的位置有关，并证明你的结论；（3）当得弦长为455，求实数m的值。
1k1?2时，圆C2：x?y?2mx?0被直线PA2截
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4.各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn,已知数列
?S?是首项为1,公差为1的等差数列. (1) 求
nn1数列?an?的通项公式；（2）令bn?，若不等式?bi?anS2n?1?an?1S2n?1i?1L2n?1?1对任意n?N都
*成立， 求实数L的取值范围.
5.已知函数f?x??x2,g?x??x?1.（1）若?x?R使f?x??b?g?x?,求实数b的取值范围;（2）设
F?x??f?x??mg?x??1?m?m2,且F?x?在?0,1?上单调递增,求实数m的取值范围.
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2015届高三A班理科数学综合训练7
1.一个袋中装有大小相同的球10个，其中红球8个，黑球2个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个． 求：（1）连续取两次都是红球的概率；（2）如果取出黑球，则取球终止，否则继续取球，直到取出黑球，但取球次数最多不超过4次，求取球次数?的概率分布列及期望．
E?ABC组合而成，点A、B、C在圆O的圆周上，其正（主）2.一个几何体是由圆柱ADD1A1和三棱锥
视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图3所示，其中EA?平面ABC， AB?AC，AB?AC，
AE?2．（1）求证：AC?BD；（2）求二面角A?BD?C的平面角的大小．
x2y23.椭圆G:2?2?1?a?b?0?的两个焦点为
abE C A1
O B A A1 D D1 O
E E A D
A
D1
正（主）视图
侧（左）视图
F1??c,0?,F2?c,0?，M是椭圆上的一点，能满足
（2）当离心率e取得最小值时，点N（0，3）到椭圆上的点的F1M?F2M?0.（1）求离心率的取值范围；
最远距离为52；①求此时椭圆G的方程；②设斜率为k?k?0?的直线L与椭圆G相交于不同的两点A、
3?、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若B，Q为AB的中点，问A、B两点能否关于过点P??0,???3?不能，请说明理由.
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4.已知函数f(x)?2x?3，数列{an}满足a1?1，an?1?f(3x1（1）求数列{an}的通项公式； （2）),n?N*.
an1(n?2)，an?1an令Tn?a1a2?a2a3?a3a4?a4a5??bn，若Sn??a2n?1a2n?a2na2n?1，求Tn；（3）令bn?b1?3，Sn?b1?b2?
m?2002*对一切n?N成立，求最小正整数m. 2
5.已知函数f(x)?x2?2x?alnx.（1）若函数f(x)在区间(0,1)上是单调函数，求实数a的取值范围；（2）当t?1时,不等式f(2t?1)?2f(t)?3恒成立，求实数a的取值范围。
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?1参考答案 1.（1）由向量m,n共线有： 2sin(A?C)?2cos2B?1??3cos2B, 即tan2B?3，又0?B?，
??22??
??所以0?2B??，则2B=
??，即B?． （2）由余弦定理得b2?a2?c2?2accosB,则
633,当且仅当a?c时等号成立 ，所以
1?a2?c2?3ac?(2?3)ac， 所以ac?2?S?ABC?11acsinB?(2?3)． 242.（1）∵?AC1C1，又由直三棱柱性质知B1C1?CC1，∴B1C1?平面ACC1A1.11B1??ACB?90，∴B1C1?A∴B1C1?CD……① 由D为中点可知，DC?DC1?2，∴DC2?DC12?CC12即CD?DC1……②.。由①
②可知CD?平面B1C1D，又CD?平面B1CD，故平面B1CD?平面B1C1D.。
（2）由（1）可知B1C1?平面ACC1A1，如图，在面ACC1A1内过C1作C1E?CD，交CD或延长线或于E，连EB1，由三垂线定理可知?B1EC1为二面角B1—DC—C1的平面角，∴?B1EC1?60.由B1C1=2知，
C1E?23， 设AD=x，则DC?x2?1.∵?DC1C1的面积为1，∴1?x2?1?23?1，解得x?2，即323AD?2.
n?n?1?n?n?1?∴nn?1?6，解得n?3或n??223.（1）设袋中原有n个白球，由题意知：1?C????7?67C7?622n27（舍去），即袋中原有3个白球．（2）由题意，?的可能取值为1，2，3，4，5，P???1??3，7，
4?324?3?364?3?2?33?P???3???P???4???，，7?677?6?5357?6?5?4354?3?2?1?31P???5???．所以，取球次数?的分布列为：
7?6?5?4?335P???2??
? P 1 2 3 4 5 37 27 635 335 13532631E??1??2??3??4??5??2.（3）因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5
77353535次取球，记“甲取到白球”的事件为A，则P?A??P?“??1”或“??3”或“??5”?，因为事件
“??1”“??3”“??5”两两互斥，所以P?A??P???1??P???3??P???5??3?6?1?22．
73535354.（1）当n?2时，an?Sn?Sn?1??的常数列．
aan?1?annan?1，即n?n?1?nn?122?n?2?．所以数列??a1an??是首项为?1
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