1(2,??)上单调递增，在(,2)上单调递减．?f(x)的极大值是f(1)?3?ln2，极小值是f(2)?3?ln2．?当
222x??0时，f(x)???； 当x???时，f(x)???，?当g(x)仅有一个零点时，k的取值范围是k?3?ln2或k?32?ln2．（2）当a?2时，f(x)?lnx?，定义域为(0,??)．令
x?12212x2?1h(x)?f(x)?1?lnx??1，?h?(x)????0，?h(x)在(0,??)上是增函
x?1x(x?1)2x(x?1)2数．①当x?1时，h(x)?h(1)?0，即f(x)?1；
②当0?x?1时，h(x)?h(1)?0，即f(x)?1； ③当x?1时，h(x)?h(1)?0，即f(x)?1．
（3）（法一）根据（2）的结论，当x?1时，lnx?2x?1k?1?1，即lnx?．令x?，则有x?1x?1k．
k?11ln?k2k?1?ln(n?1)?，
k?1n1??ln??kk?1k?12k?1n?ln(n?1)??lnk?1nk?1k，
1111?????ln2?，． (法二)当n?1时，ln(n?1)?ln2．3ln2?ln8?1，352n?13111即n?1时命题成立． 设当n?k时，命题成立，即 ln(k?1)????． ?n?k?1时，
352k?1k?2111k?2． ln(n?1)?ln(k?2)?ln(k?1)?ln?????lnk?1352k?1k?1k?2k?212x?1?1，即lnx??根据（2）的结论，当x?1时，lnx?．令x?，则有ln，x?1x?1k?1k?12k?31111?则有ln(k?2)????，即n?k?1时命题也成立． 因此，由数学归纳法可知不等
352k?12k?3y式成立．
（法三）如图，根据定积分的定义，
n1111?1??1????1??dx．??11分
1572n?12x?1 nn111 11??dx??d(2x?1)?ln(2x?1)1n?[ln(2n?1)?ln3]， o1 2 3 4 5 6 12x?1 ? n-1 n x212x?122n111111111??dx ????????(???)?132x?152n?13572n?13112?3ln3111?[ln(2n?1)?ln3]?ln(n?1)??[ln(2n?1)?ln(n2?2n?1)]，． ??[ln(2n?1)?ln3]326232得
又
?2?3?3ln3，
ln(2n?1)?ln(n2?2n?1)，
11111??[ln(2n?1)?ln3]?ln(n?1)．??????ln(n?1)． 32352n?1 5答案4．（1）由已知和得，当n?2时，b?S?S?(3n2?1n)?(3(n?1)2?1(n?1))?3n?2，又b1?1?3?1?2，
nnn?12222 21
符合上式。故数列
?bn?的通项公式bn?3n?2。又∵a的
通
项
公
式
为
3n?4?(bn?2)，∴an?42
?(bn?2)3?4?(3n?2)?231?()n，
4，
故数列
?an?1an?()n4，（）
1cn?anbn?(3n?2)?()n4Sn?1?1111?4?()2?7?()3???(3n?2)?()n， ??① 4444111111Sn?1?()2?4?()3?7?()4???(3n?5)?()n?(3n?2)?()n?1，??② 444444 ①
-②
得
3111111Sn??3?[()2?()3?()4???()n]?(3n?2)?()n?14444444
11()2[1?()n?1] 114??3?4?(3n?2)?()n?11441?4?11?(3n?2)?()n?1， 24
∴
212n?81n?1。（3）??()3341113n?1cn?1?cn?(3n?1)?()n?1?(3n?2)?()n?()n?[?(3n?2)]
4444Sn? ?∵
1cn?(3n?2)?()n4, ∴
11?9?()n?1(n?1), 当n?1时，cn?1?cn；当n?2时，cn?1?cn，∴(cn)max?c1?c2?。
44121212 若cn?m?m?1对一切正整数n恒成立，则m?m?1?即可， ∴m?4m?5?0，即m??5或
444m?1。
5．（Ι）由f'(x)?a(1?x)知：当ax?0时，函数f(x)的单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1,??)；当a?0时，函数
f(x)的单调增区间是(1,??)，单调减区间是(0,1)；当a?0时，函数f(x)??3是常数函数，无单调区间。（Ⅱ）
由f'?2???a?1?2a??2,∴f?x???2lnx?2x?3，f'?x??2?2. 故g(x)?x3?x2?m?f'(x)??x3?(2?m)x2?2x，∴
x??2??2g'(x)?3x2?(4?m)x?2,∵ 函数g(x)在区间(t,3)上总存在极值，∴ 函数g'(x)在区间(t,3)上总存在零点，
又∵函数g'(x)是开口向上的二次函数，且g'(0)??2?0∴
?g'(t)?0 由g'(t)??g'(3)?0?0?m?2?3t?4，令tH(t)?2?3t?4，则H'(t)?t?2?3?0，所以H(t)在t2?1,2?上单调递减，所以H(t)?H(t)min?H(1)??9；由
g'(3)?27?(4?m)?3?2?0，解得m??37；综上得：?37?m??9. 所以当m在(?3337,?9)内取值时，对于任意的3t??1,2?，函数g(x)?x3?x2?m?f'(x)?在区间(t,3)上总存在极值。
?2???6. 2 解：（Ⅰ）由题设可知Y1和Y2的分布列分别为 Y1 P 5 0.8 10 0.2 ，
Y2 P 2 0.2
8 0.5 12 0.3 。
EY1?5?0.8?10?0.2?6
DY1?(5?6)2?0.8?(10?6)2?0.2?422
EY2?2?0.2?8?0.5?12?0.3?8DY2?(2?8)2?0.2?(8?8)2?0.5?(12?8)2?0.3?12。
（2）f(x)?D(xY1)?D(100?xY2)?(x)2DY1?(100?x)2DY2100100100100?44(4x2?600x?3?1002)，[x2?3(100?x)2]?22100100当x?600时，?752?42f(x)?3为最小值。
3.（1）双曲线x?y2?1的左右焦点为(?2,0)，即
3A1,A2的坐标分别为(?2,0),(2,0). 所以设椭圆C1的标准方程为
x2y2?2?1(a?b?0),则a2ab?2,且e?c3?a2,所以c?3,从而b2?a2?c2?1, 所以椭圆C1的标准方程
2为
xy??14122. (Ⅱ)设
P(x0,y0)则
x0y?0?14122，即
y0x?1?0424?x0?42
k1?k2?1y0?0y0?0??. ??24x0?(?2)x0?2x0?4y02所以k1?k2的值与点P的位置无关，恒为?122222。 （Ⅲ）由圆C2：x?y?2mx?0得(x?m)?y?m， 4111其圆心为C2(m,0)，半径为m， 由（Ⅱ）知当k1?时，k2??，故直线PA2的方程为y??(x?2)即222x?2y?2?0，所以圆心为C2(m,0)到直线PA2的距离为d?m?2?0?2?m?2，又由已知圆C2：
12?225x2?y2?2mx?0被直线PA2截得弦长为
2所以m2?(25)2m?2， 即m?45及垂径定理得圆心C2(m,0)到直线PA2的距离d?5m2?(252，
)55?m?2?0，解得m??2或m?1。 所以实数m的值为1或?2.
54.（1∵数列
?S?是首项为1,公差为1的等差数列，∴nSn?1??n?1??n.∴Sn?n2.当n?1时，
2a1?S1?1； 当n?2时，an?Sn?Sn?1?n2??n?1??2n?1.又a1?1适合上式.∴an?2n?1.
（2）b?n11 ?2n?1?2n?1 1??anS2n?1?an?1S2n?12?2n?1??2n?1??2n?1?2n?1??2n?1?2n?1?2n?1??2n?1??2n?1?2n?1?1?11?.
????2?2n?12n?1?∴
?bi?1ni?b1?b2?n?bn ?1?1?2??1?1?11????2???3?35??*2n?1?1. 1?11? 1?1???????1???2?2n?12?22n?12n?1?2n?1?2n?1?122n?1故要使不等式?bi?i?1L2n?1?1对任意n?N都成立，即?L2n?1?1对任意n?N都成立， 得
*?L?2n?1?1??2n?1?122n?1??n2n?1对任意
n?N
*都成立. 令
cn?n2n?1，则
23
cn?1?n?1?2n?12n3?5n2?4n?1???1.∴cn?132cnn2n?32n?3n?cn. ∴cn?cn?1??c1?3. ∴3. ∴实数L的取L?33?03?. [另法]:值范围为????,c???3?n?1?cn?n?1n?n?1?2n?1?n2n?3 ???2n?32n?1?2n?1??2n?3?2n3?5n2?4n?1?2n3?3n3.∴
?2n?1??2n?3?cn?1?cn.∴cn?cn?1??c1?3. ∴3. ∴实数LL?33的取值范围为?3?.
????,3???5. 解：（1）由?x?R,f?x??bg?x?，得?x?R,x2?bx?b?0，所以，????b?2?4b?0解得b?0或b?4；
（2）由题设得F?x??x2?mx?1?m2，对称轴方程为x?m2，??m2?41?m2?5m2?4。
??m??2?025时,有?由于F?x?在?0,1?上单调递增，则有(Ⅰ)当??0即25??m?2525??m?55?5?5解得?25?m?0 (Ⅱ)5当
??0即m??25或m?25时，设方程F?x??0的根为x,x?x?12155x?2，若m?25,则m?5，有
525?m/2?1,?2?x1?0?F(0)?1?m解得m?
?0.??x?x?0?m?02； 若m??25,即m 5，有x1?0,x2?0；?12???2?xx?1?m?0??1?m?1?12?0525??m??25?5?解得?1?m??25。由①②得 25。综合(Ⅰ)， (Ⅱ)有 ?1?m??或m?255?1?m?0或m?2．
7答案1.（1）连续取两次都是红球的概率P?4?4?16;（2）
?的可能取值为1，2，3，4，
55251，P(?P(??1)?5414，
?2)???5525141664369＋2×＋3×＋4×=． 5125125125253.（1）证明：因为EA?平面ABC，AC?平面ABC，所以EA?AC，即ED?AC．
ED?A，所以AC?平面EBD．因为BD?平面EBD，所以AC?BD． 又因为AC?AB，AB（2）解：因为点A、B、C在圆O的圆周上，且AB?AC，所以BC为圆O的直径．设圆O的半径为r，圆柱高为h，根据正（主）
464．4116，
P(??4)?()3?P(??3)?()2??512555125?的概率分布列为E?=1×
视图、侧（左）视图的面积可得，?2rh?1?r?2?10,解得?r?2,所以BC?2???h?2.?2rh?1?2r?2?12.??2?4，AB?AC?22． 过点C作CH?BD于点H，连接
AH，由（1）知，AC?BD，ACCH?C，所以BD?平面ACH．因为AH?平面ACH，所以BD?AH．所
以?AHC为二面角A?BD?C的平面角．
由（1）知，AC?平面ABD，AH?平面ABD，所以AC?AH，即△CAH为直角三角形．在Rt△BAD中，
AB?22，
AD?2，则BD?AB2?AD2?23． 由AB?AD?BD?AH，解得
26AH?3． 因为tan?AHC?AC?AH3．所以
?AHC?60．所以二面角A?BD?C的平面角大小为60．
3.（1）设M(x,y)，则F1M?(x?c,y),F2M?(x?c,y)由F1M?F2M?0?x2?y2?c2?y2?c2?x2，又M在椭圆上，∴
24
b22a2b2b2222222y?b?2x，∴c?x?b?2x?x?a?2aca22，又0?x2?a2 ∴0?2?。设
12?1??e?1,? 22e椭圆上一点，则
∵
20?e?1,??e?122（2）①当e?22时得椭圆为
x2y2??12b2b2H(x,y)是
HNHN?x2?(y?3)2?(2b2?2y2)?(y?3)2??(y?3)2?2b2?18,(?b?y?b) 设0?b?3，则?3??b?0，当y??b时，
?b2?6b?9,，由题意得b?6b?9?50∴b??3?52，与0?b?3矛盾， 设b?3得?b??3，当y??3时，
2??2b2?18,，由2b?1822maxHN2max5得0b2?16,（合题薏）∴椭圆方程是：
x2y2??13216 ②．设
l:y?kx?m由
x2y2而???1?(1?2k2)x2?4kmx?2m2?32?03216y?kx?m??1?0?m2?32k2?16 又A、B两点关于过点P?0,?3?、Q的直线对称∴kPQ??k3??32，
设
A(x1,y1),B(x2,y2)，则xQ??2kmm,y?Q1?2k21?2k22??∴yQ?311?2k2 ∴?1?2k??32k2?16?0?k2?47 又
???m????xQk3?3?2k?0，∴
?94?k?02
或
0?k?942是以
∴需求的k的取值范围是
?94?k?02或
0?k?94221n?33 4.（1）
2?3an12an?1?f()??an?an33?{an}23为公差，首项
a1?1的等差数列，
?an? （2）
Tn?a1a2?a2a3?a3a4?a4a5??a2n?1a2n?a2na2n?154n1n(??)443334 （3）当??(a2?a4??a2n)????(2n2?3n)3329?a2(a1?a3)?a4(a3?a5)??a2n(a2n?1a2n?1) 。当
n?2时，
11911bn???(?)2121an?1an(n?)(n?)22n?12n?13333n?1时，上式同样成立
*91111191 m?2002，即9(1?1)?m?2002对一切n?N成立， 又9随1?Sn?b1?b2??bn?(1??????)?(1?)?Sn?(1?)22n?1223352n?12n?122n?1222n?1n递增，且92(1?19 ?9)?22n?12?m?2002，?m?2011，?m最小2?2011
5.（1）函数
， f(x)的定义域是(0,??)f?(x)?2x?2?a2x2?2x?a，因为函数
?xxf(x)在区间（0，1）上为单调函数所以只需
f?(x)?0或f?(x)?0在区间（0，1）上恒成立，即a??(2x2?2x)或a??(2x2?2x)在区间（0，1）上恒成立， 解得a?0,或a??4;故实数
a的取值范围是(??,?4]?[0,??)（Ⅱ）不等式
记
f(2t?1)?2f(t)?3可化为2t2?4t?2?alnt2?aln(2t?1)即
是增函数即可 即1)2t2?alnt2?2(2t?1)?aln(2t?1)
g'(x)?2?g(x)?2x?alnx(x?1)，要使上式成立只须g(x)?2x?alnx(x?a?0在[1,??)上恒成立，即ax?2x在[1,??)上恒成立，故a?2， 实数a的取值范围是(??,2]。
25