2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷
理科数学（必修 + 选修Ⅱ）
注意事项：
1．本试题卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分,共4页,总分150分,考试时间120分钟.
2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上.
3．选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.
4．非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚
5．非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效，在草稿纸、本试题卷上答题无效.
6．考试结束、将本试题卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题）
本卷共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 如果事件A、B相互独立，那么
球的表面积公式
P（A+B）=P（A）+P（B）
S?4?R2
其中R表示球的半径
P（A·B）=P（A）·P（B） 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V?n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
43
?R3其中R表示球的半径
kkPn(k)?CnP(1?P)n?k(k?0,1,2,?,n)
一、选择题 （1）sin210?
? （A）
3 2（B）?3 2（C）
1 2（D）?1 2（2）函数y?|sinx|的一个单调增区间是
（A）(???,) 44 （B）(?3?4,4)
1
（C）(?,3?) 2z
（D）(3?,2?) 2（3）设复数z满足1?2i?i,则z? （A）－2+i （B）－2－i （4）下列四个数中最大的是
（A）(ln2)2
（B）ln(ln2)
（C）2－i
（D）2+i （D）ln2
（C）ln2
（5）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD?2DB,CD?
（A）
1CA??CB,则?? 3（D）?2 3（B）
1 3（C）?1 32 3?1（6）不等式x?0的解集是 2x?4 （A）（－2，1） （B）（2，+∞） （C）(?2,1)?(2,??) （D）(??,?2)?(1,??)
（7）已知正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A所成的角的
正弦值等于
（A）
6 4（B）10
4（C）
2 2（D）
3 221x（8）已知双曲线y??3lnx的一条切的斜率为，则切点的横坐标为
24 （A）3 （B）2 （C）1
（D）1
2（9）把函数y?ex的图像按向量a =（2,3）平移,得到y?f(x)的图像,则f(x)?
（A）ex?3?2
（B）ex?3?2 （C）ex?2?3 （D）ex?2?3
（10）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要
求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 （A）40种 （B）60种 （C）100种 （D）120种
x2y2（11）设F1、F2分别是双曲线2?2?1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使
ab ?F1AF2?90?且|AF1|?3|AF2|，则双曲线的离心率为
（A）5
2（B）10
22（C）15
2（D）5
（12）设F为抛物线y?4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若
FA?FB?FC?0，则|FA|?|FB|?|FC|?
（A）9
（B）6
（C）4
（D）3
2
第Ⅱ卷（非选择题）
本卷共10题，共90分.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. （13）(1?2x)(x?218)的展开式中常数项为 ① .（用数字作答） x（14）在某项测量中，测量结果?服从正态分布N(1,?2)(??0).若?在(0,1)内取值的
概率为0.4，则?在（0,2）内取值的概率为 ② .
（15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为
1cm，那么该棱柱的表面积为 ③ cm2. （16）已知数列的通项an??5n?2，其前n项和为Sn，则limSn= ④ .
x??n2
三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分10分）
在△ABC中，已知内角A??3,边BC?23,设内角B=x，周长为y.
（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式和定义域；
（Ⅱ）求y的最大值.
（18）（本小题满分12分）
从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件.假设事件A：“取出的2
件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96.
（Ⅰ）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p;
（Ⅱ）若该批产品共100件，从中任意抽取2件,?表示取出的2件产品中二等品的件数，求?的分布列.
（19）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥S—ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥底面ABCD, E、F分别为
AB、SC的中点.
（Ⅰ）证明EF//平面SAD.
（Ⅱ）设SD=2DC. 求二面角A—EF—D的大小.
3
（20）（本小题满分12分）
在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x?3y?4相切.
（Ⅰ）求圆O的方程；
（Ⅱ）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB| 成等比数列，求PA、PB的取值范围.
（21）（本小题满分12分）
设数列{an}的首项a1?(0,1),an?（Ⅰ）求{an}的通项公式;
（Ⅱ）设bn?an3?2an,证明bn?bn?1,其中n为正整数. （22）（本小题满分12分）
已知函数f(x)?x3?x.
（Ⅰ）求曲线y?f(x)在点M（t,f(t)）处的切线方程；
（Ⅱ）设a>0. 如果过点（a, b）时作曲线y=f（x）的三条切线，证明： ?a?b?f(a).
4 3?an?1,n?2,3,4,?. 2
2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同.可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.
2．对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分的正确解答应得分数的一半,如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3．解答右段所注分数,表示考生正确做到这一步应得到累加分数. 4．只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题
（1）D （2）C （3）C （4）D （5）A （6）C （7）A （8）A （9）C （10）B （11）B （12）B 二、填空题
（13）－42 （14）0.8 （15）2+42 （16）三、解答题 （17）解：
（Ⅰ）△ABC的内角和A+B+C=?,由A?应用正弦定理,知
5 2?3,B?0,C?0得0?B?2?. 3AC?BC23sinB?sinx?4sinx,
?sinAsin3BC2?sinC?4sin(?x). sinA3AB?因为 y?AB?BC?AC, 所以 y?4sinx?4sin(2?2??x)?23(0?x?). 33n?（Ⅱ）因为 y?4(six31cosx?sinx)?23 22=43sin(x?所以,当x?（18）解
?6)?23(?6?x??6?5?), 6?6??2,即x??3时,y取得最大值63.
（Ⅰ）记A0表示事件“取出2件产品中无二等品”,
A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”
5