如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE?平面BCC1
（I）证明：AB?AC
（II）设二面角A?BD?C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小。 （I）分析一：连结BE，?ABC?A1B1C1为直三棱柱， ??B1BC?90?,
?E为B1C的中点，?BE?EC。又DE?平面BCC1，
?BD?DC（射影相等的两条斜线段相等）而DA?平面ABC，
?AB?AC（相等的斜线段的射影相等）。
分析二：取BC的中点F，证四边形AFED为平行四边形，进而证AF∥DE，
AF?BC，得AB?AC也可。
分析三：利用空间向量的方法。具体解法略。
（II）分析一：求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可。
作AG?BD于G，连GC，则GC?BD，?AGC为二面角A?BD?C的平面角，
?AGC?60?.不妨设AC?23，则AG?2,GC?4.在RT?ABD中，由AD?AB?BD?AGAD?6. ，易得
设点B1到面BDC的距离为h，B1C与平面
BCD所成的角为
?。利用
11S?B1BC?DE?S?BCD?h，可求得h?23，又可33求得BC???43 sin1h1 .????3?0B1C2即B1C与平面BCD所成的角为30?.
分析二：作出B1C与平面BCD所成的角再行求解。如图可证得BC?面AFED，所以面AFED?面BDC。由分析一易知：四边形AFED为正方形，连AE、DF，并设
C?OC为EC在面BDC内的射影。交点为O，则EO?面BD，??ECO即为所求。以下略。
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?分析三：利用空间向量的方法求出面BDC的法向量n，则B1C与平面BCD所成的角?????即为BC1与法向量n的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。
总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。
19（本小题满分12分）
设数列{an}的前n项和为Sn, 已知a1?1,Sn?1?4an?2 （I）设bn?an?1?2an，证明数列{bn}是等比数列 （II）求数列{an}的通项公式。
解：（I）由a1?1,及Sn?1?4an?2，有a1?a1?2?5,?b???a2?a4,a2?31a22a131?2由Sn?1?4an?2，．．．① 则当n?2时，有Sn?4an?1?2．．．．．② ②－①得an?1?4an?4an?1,?an?1?2an?2(an?2an?1)
又?bn?an?1?2an，?bn?2bn?1?{bn}是首项b1?3，公比为２的等比数列． （II）由（I）可得bn?an?1?2an?3?2n?1，? ?数列{
an?1an3?? 2n?12n4an13}是首项为，公差为的等比数列．
242na1331??(n?1)?n? ?n，an?(3n?1)?2n?2 n22444评析：第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找bn与bn?1的关系即可．
第（II）问中由（I）易得an?1?2an?3?2n?1，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：an?1?pan?qn(p,q为常数)，主要的处理手段是两边除以qn?1．
总体来说，09年高考理科数学全国I、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列（全国I还考查了利用错位相减法求前n项和的方法），一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。
20（本小题满分12分）
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某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。
（I）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（III）记?表示抽取的3名工人中男工人数，求?的分布列及数学期望。
分析：（I）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可。另外要注意此分
层抽样与性别无关。
（II）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。
11C4?C68 从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率P? ?2C1015（III）?的可能取值为0，1，2，3
1111221C3C4C6C3C4C4C2628， P(??0)?2?1?，P(??1)?2?1?2?1?C10C575C10C5C10C5752131C6C210P(??3)?2?1?，P(??2)?1?P(??0)?P(??1)?P(??3)?
75C10C575分布列及期望略。
评析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易。在计算P(??2)时，采用分类的方法，
用直接法也可，但较繁琐，考生应增强灵活变通的能力。
21（本小题满分12分）
x2y23 已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交
ab3于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为 （I）求a，b的值；
2 2???????????? （II）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OP?OA?OB成立？
若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。
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解:(I）设F(c,0)，直线l:x?y?c?0，由坐标原点O到l的距离为
2 2 则c3|0?0?c|2，解得 c?1.又e??,?a?3,b?2. ?a322x2y2??1.设A(x1,y1)、B(x2,y2) （II）由(I）知椭圆的方程为C:32由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设 l:x?my?1
代入椭圆的方程中整理得(2m2?3)y2?4my?4?0，显然??0。
4m4,yy??,．．．．．．．．① 122m2?32m2?3????????????.假设存在点P，使OP?OA?OB成立，则其充要条件为：
由韦达定理有：y1?y2??(x1?x2)2(y1?y2)2??1。 点P的坐标为(x1?x2,y1?y2)，点P在椭圆上，即
32整理得2x12?3y12?2x22?3y22?4x1x2?6y1y2?6。 又A、B在椭圆上，即2x12?3y12?6,2x22?3y22?6.
故2x1x2?3y1y2?3?0．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．② 将x1x2?(my1?1)(my2?1)?m2y1y2?m(y1?y2)?1及①代入②解得m?21 24m232232?2?,x1?x2=?,即?y1?y2?或?P(,?).
2m2?322222当m?2322时,P(,?),l:x?y?1; 22222322时,P(,),l:x??y?1. 2222当m??评析：处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够。所谓“算”，主要讲的是算理
和算法。算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一个是表,一个是里,一个是现象,一个是本质。有时候算理和算法并不是截然区分的。例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破
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口和切入点。
22.(本小题满分12分)
设函数f?x??x2?aIn?1?x?有两个极值点x1、x2，且x1?x2 （I）求a的取值范围，并讨论f?x?的单调性； （II）证明：f?x2??1?2In2 4a2x2?2x?a?(x??1) 解: （I）f??x??2x?1?x1?x 令g(x)?2x?2x?a，其对称轴为x??21。由题意知x1、x2是方程g(x)?0的两个2均大于?1的不相等的实根，其充要条件为????4?8a?01，得0?a?
2?g(?1)?a?0⑴当x?(?1,x1)时，f??x??0,?f(x)在(?1,x1)内为增函数； ⑵当x?(x1,x2)时，f??x??0,?f(x)在(x1,x2)内为减函数； ⑶当x?(x2,??)时，f??x??0,?f(x)在(x2,??)内为增函数； （II）由（I）g(0)?a?0,??1?x2?0，a??(2x22+2x2) 2?f?x2??x22?aln?1?x2??x22?(2x22+2x2)ln?1?x2?
设h?x??x?(2x?2x)ln?1?x?(x??)，
2212则h??x??2x?2(2x?1)ln?1?x??2x??2(2x?1)ln?1?x? ⑴当x?(?11,0)时，h??x??0,?h(x)在[?,0)单调递增； 22⑵当x?(0,??)时，h??x??0，h(x)在(0,??)单调递减。
111?2ln2?当x?(?,0)时,h?x??h(?)?
2241?2In2故f?x2??h(x2)?．
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