又g(0)?0，所以当x≥0时，g(x)≥g(0)?0，即f(x)≤ax． ······························· 9分 当0?a?1时，令h(x)?sinx?3ax，则h?(x)?cosx?3a． 3故当x??0，arccos3a?时，h?(x)?0． 因此h(x)在?0，arccos3a?上单调增加．
arccos3a)时，h(x)?h(0)?0， 故当x?(0，即sinx?3ax．
arccos3a)时，f(x)?于是，当x?(0，当a≤0时，有f?sinxsinx??ax．
2?cosx3π?π?1． ??0≥a??2?2?2?1?3??因此，a的取值范围是?，························································································ 12分 ???． ·
2009年全国高考理科数学试题及答案（全国卷Ⅱ）
一、选择题： 1.
10i? 2-iA. -2+4i
B. -2-4i
C. 2+4i
D. 2-4i
解：原式?10i(2+i)??2?4i.故选A.
(2-i)(2+i)2. 设集合A??x|x?3?,B??x|
A. ?
??x?1??0?，则A?B= x?4?C.??2,1?
D. ?4.???
B. ?3,4?
解：B??x|??x?1??0???x|(x?1)(x?4)?0???x|1?x?4?.?A?B?(3,4).故选B. x?4? 21
12， 则cosA? 51255 A. B. C.?
13131312?解：已知?ABC中，cotA??，?A?(,?).
523. 已知?ABC中，cotA??D. ?12 13cosA??11?tan2A??11?(?52)12??12 故选D. 134.曲线y?
x在点?1,1?处的切线方程为 2x?1A. x?y?2?0 B. x?y?2?0 C.x?4y?5?0 D. x?4y?5?0
解：y?|x?1?2x?1?2x1|?[?]|??1, x?122x?1(2x?1)(2x?1)故切线方程为y?1??(x?1),即x?y?2?0 故选B.
E为AA1中点，5. 已知正四棱柱ABCD?A则异面直线BE与CD1，1BC11D1中，AA1?2AB所成的角的余弦值为
A.
10 10B.
1 5C.
310 10D.
3 5BE与CD1所成的角即A1B 解：令AB?1则AA1?2,连A1B?C1D∥A1B ?异面直线
与BE所成的角。在?A1BE中由余弦定理易得cos?A1BE?6. 已知向量a??2,1?,a?b?10,|a?b|?52，则|b|?
A.
310。故选C 105
B.
10 C.5 D. 25
??2?2???2?2?解：?50?|a?b|?|a|?2a?b?|b|?5?20?|b|?|b|?5。故选C
7. 设a?log3?,b?log23,c?log32，则
A. a?b?c
B. a?c?b
C. b?a?c
D. b?c?a
解：?log32?log2 log22?log23?b?c
33?lo2g?2.故选A. lo?g3?oag?b?a?b ?c3l? 22
8. 若将函数y?tan??x?????4??的图像向右平移????0?个单位长度后，与函数6???y?tan??x??的图像重合，则?的最小值为
6??
A．
1 6B.
1 4?C.
1 3D.
1 2??向右平移6个单位??????解：y?tan??x?????????y?tan[?(x?)?]?tan??x??
4?646?????4??6??k??又???0??min1???6k?(k?Z)， 621?.故选D 2?9. 已知直线y?k?x?2??k?0?与抛物线C:y2?8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|?2|FB|，则k?
A.
12222 B. C. D. 3333解：设抛物线C:y2?8x的准线为l:x??2直线
y?k?x?2??k?0?恒过定点P??2,0? .如图过A、B分 别作AM?l于M,BN?l于N, 由|FA|?2|FB|,则|AM|?2|BN|,点B为AP的中点.连结OB,则
|OB|?1|AF|, ?|OB|?|BF| 点B的横坐标为1, 故点B的坐标为2(1,22)?k?22?022, 故选D ?1?(?2)310. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有
A. 6种 B. 12种 C. 30种 D. 36种
222解：用间接法即可.C4?C4?C4?30种. 故选C
x2y211. 已知双曲线C：2?2?1?a?0,b?0?的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交Cab于A、B两点，若AF?4FB,则C的离心率为 23
m A．
6759 B. C. D. 5585x2y2解：设双曲线C：2?2?1的右准线为l,过A、B分 别
ab作AM?l于M,BN?l于N, BD?AM于D,由直线AB的斜率为
3,知直线AB的倾斜角为
1|AB|, 2第
二
定
义
有
60???BAD?60?,|AD|?由
双
曲
线
的
?????1???|AM|?|BN|?|AD|?(|AF|?|FB|)e?????11????|AB|?(|AF|?|FB|). 22????5????16又?AF?4FB??3|FB|?|FB|?e? 故选A
e2512.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“?”的面的方位是
A. 南 C. 西
B. 北 D. 下
解：展、折问题。易判断选B
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上。
?解：?x13. xy?yxy?y?的展开式中xy的系数为 6 。
x??xy(x?y)，只需求(x?y)展开式中的含xy项的系数：
433422442C4?6
14. 设等差数列?an?的前n项和为Sn，若a5?5a3则
S9? 9 . S5解：??an?为等差数列，?S99a5??9 S55a315.设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面
24
7?，则球O的表面积等于 8?. 47?72,得r2?. 解：设球半径为R，圆C的半径为r，由4?r?44得到圆C。若圆C的面积等于 因为OC?2221272R2R)?r?R?得R2?2.故球O的表??R。由R2?(484224面积等于8?.
16. 已知AC、BD为圆O:x2?y2?4的两条相互垂直的弦，垂足为M1,2,则四边形
??ABCD的面积的最大值为 。
解：设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2,则d12+d22?OM2?3. 四边形ABCD的面积S?1|AB|?|CD|?2(4?d12)(4-d22)?8?(d12?d22)?5 2三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分10分）
设?ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos(A?C)?cosB?3，2b2?ac，求B。
s?(C?)分析：由coAcoAs?(C?)展开得sinAsinC?3Bc?o，s易想到先将B???(A?C)代入233Bc?o得scos(A?C)?cos(A?C)?然后利用两角和与差的余弦公式22。
322；又由b?ac，利用正弦定理进行边角互化，得sinB?sinAsinC，4进而得sinB??2?2?3.故B?或。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当B?333213，进而得cos(A?C)?cos(A?C)??2?1，矛盾，222?。不过这种方法学生不易想到。 3时，由cosB??cos(A?C)??应舍去。
也可利用若b?ac则b?a或b?c从而舍去B?评析：本小题考生得分易，但得满分难。
18（本小题满分12分）
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