关于生产计划的线性规划模型
摘 要
本文利用问题中的数据信息，建立了线性规划模型，并运用LINGO软件求解，得出了让工厂赢利最大的生产计划，并讨论了增加设备、投产新产品、改进产品工艺等各种情况对生产计划的影响。
对于问题（1）：按照题目给出的数据，可以得到一个每月生产赢利最大为目标的线性规划模型。然后利用LINGO软件求解出模型的全局最优解，最优值为134.5，最优解为x1?24，x2?24，x3?5。即每月安排生产24件产品Ⅰ，24件产品Ⅱ，5件产品Ⅲ，能使工厂获得最大赢利为134.5千元。
对于问题（2）：因为设备B每台时的租金为0.3千元，高于它的对偶价格，所以得出结论：借用设备B是不合算的。我们又建立了线性规划模型来验证结论。模型计算结果显示借用设备B，工厂最大赢利为127千元，比原生产计划下的赢利134.5千元少，证明了借用设备B确实是不合算的。
对于问题（3）：为了更好的讨论新产品Ⅳ、Ⅴ投产是否合算，我们分三种情况建立模型：同时投产Ⅳ和Ⅴ、只投产Ⅳ、只投产Ⅴ。结合三个模型的结果可知：若单独投产Ⅳ或Ⅴ，工厂赢利的增量分别是0.1千元和1.36千元。只投产Ⅳ则利润增长是很小的，同时投产Ⅳ和Ⅴ的收益增量是最大的，为1.46千元。所以在计划新产品的投产时，不能单独投产新产品Ⅳ，最好是同时投产新产品Ⅳ和Ⅴ。
对于问题（4）：根据新数据，可以得到线性规划模型，模型的最优解为改进工艺结构后最大赢利为152.8千元，给工厂增加了x1?22，x2?24，x3?2。18.3千元的赢利。
关键词：工厂赢利，生产计划，线性规划，LINGO软件，对偶价格
一、问题重述
已知某工厂计划生产Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三种产品，各产品需要在A,B,C设备上加工，有关数据见下表。试回答：
设备代号 Ⅰ 8 10 2 3 Ⅱ 2 5 13 2 Ⅲ 10 8 10 2.9 设备有效台时/月 300 400 420 A B C 单位产品利润/千元
（1）如何充分发挥设备能力，使生产赢利最大？
（2）若为了增加产量，可借用其他工厂的设备B，每月可借用60台时，租金为1.8万元，问借用B设备是否合算？
（3）若另有两种新产品Ⅳ,Ⅴ，其中Ⅳ需用设备A为12台时，B为5台时；
C为10台时，单位产品赢利2.1千元；新产品Ⅴ需用设备A为4台时，B为4台
时；C为12台时，单位产品赢利1.87千元。如A,B,C设备台时不增加，分别回答这两种新产品投产在经济上是否合算。
（4）对产品工艺重新进行设计，改进结构。改进后生产每件产品Ⅰ，需用设备A为9台时，设备B为4台时；设备C为4台时，单位产品赢利4.5千元，问这对原计划有何影响？
二、问题分析
1. 关于问题（1）：这个优化问题的目标是使每月生产赢利最大，要做的决策是生产计划，即每月安排生产多少件产品Ⅰ，多少件产品Ⅱ，多少件产品Ⅲ。决策受到A,B,C三种设备的有效台时的限制。按照题目给出的数据，将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，就可以得到一个线性规划模
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型。
2. 关于问题（2）：这一问讨论的是若为了增加产量向其他工厂有偿借用设备B是否合算。已知每月可借用60台时，租金为1.8万元，则可以知道每台时B的租金。根据问题（1）的程序运行结果，结合运筹学中对偶价格的知识（对偶价格反映资源对目标函数的边际贡献，即资源转换成经济效益的效率），设备B的对偶价格表示的是每增加一台设备B，可以使工厂赢利增加的数目。可以通过比较设备B每台时的租金和它的对偶价格，讨论借用设备B是否合算。若设备B每台时的租金高于它的对偶价格，则借用设备B不合算；若设备B每台时的租金低于它的对偶价格，则借用设备B是合算的。也可以建立新的线性规划模型进行求解来验证结果。
3. 关于问题（3）：这一问是在问题（1）的基础上，出现了Ⅳ、Ⅴ两种新产品，造成了技术系数的变化。为了更好的讨论Ⅳ、Ⅴ这两种新产品投产在经济上是否合算。我们可以分三种情况来讨论本模型：同时投入生产新产品Ⅳ和新产品Ⅴ；只投入生产新产品Ⅳ；只投入生产新产品Ⅴ。综合3个模型的计算结果，比较投产Ⅳ、Ⅴ这两种新产品是否合算，并讨论怎样投产才最合算。
4. 关于问题（4）：同样的，这一问也是出现了技术系数的变化。但是，与问题（3）不同的是，该问不是出现了新产品，而是原产品的技术系数发生了变化。类似于问题（3），根据新给出的各项数据，可以分别将新的决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，就可以得到该题的线性规划模型，通过模型的求解结果与问题（1）的结果作比较，可知改进产品工艺结构后，对原计划的影响。
三、模型假设
1. 题目中给出的各种产品的单位利润是与它们各自产量无关的常数，也与它们相互间的产量无关。
2. 题目中给出的各种设备生产各种产品的台时与它们各自的产量无关，也与它们相互间产量无关。
3. 在生产过程中，不存在设备的故障、维修等时间。
4. 假设不考虑生产过程中需要的人工参与以及工人数目的限制。
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四、符号说明
符号 符号的说明 产品i计划生产的件数 单位产品i的利润 设备j每月有效台时 设备j的对偶价格 产品的技术系数 xi,(i?1,2,3,4,5) mi,(i?1,2,3,4,5) tj,(j?1,2,3) pj,(j?1,2,3) aij
五、模型的建立与求解
5.1 问题1模型的建立与求解 5.1.1 问题1模型的建立
决策变量：引入变量xi,(i?1,2,3)：每月安排生产x1件产品Ⅰ，x2件产品Ⅱ，
x3件产品Ⅲ。
目标函数：设每月生产赢利为z，单位产品i(i?1,2,3)的利润（千元）为
m1?3,m2?2,m3?2.9。故z?3x1?2x2?2.9x3
约束条件：决策受到A,B,C三种设备的有效台时tj,(j?1,2,3)的限制，
t1?300,t2?400,t3?420，技术系数为aij。故有?aijxi?tj,j?1,2,3。
i?13综上可得如下线性规划模型： 目标函数 maxz?3x1?2x2?2.9x3
?8x1?2x2?10x3?300?10x?5x?8x?400?123约束条件 ?
2x?13x?10x?42023?1??x1,x2,x3?0且为整数 3
5.1.2 模型的求解
可以直接用LINGO软件很方便地实现该线性规划的求解，在LINGO下建立一个模型文件，输入如下程序：
model:
max=3*x1+2*x2+2.9*x3; 8*x1+2*x2+10*x3<=300; 10*x1+5*x2+8*x3<=400; 2*x1+13*x2+10*x3<=420;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3); end
执行程序后可得到如下输出（执行程序后的运行结果截图见附录一）：
Global optimal solution found.
Objective value: 134.5000 Extended solver steps: 2 Total solver iterations: 15
Variable Value Reduced Cost X1 24.00000 -3.000000 X2 24.00000 -2.000000 X3 5.000000 -2.900000
Row Slack or Surplus Dual Price 1 134.5000 1.000000 2 10.00000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 10.00000 0.000000
上面的输出结果表示：LINGO求出了模型的全局最优解，最优值为134.5（即最大赢利为134.5千元），这个线性规划的最优解为x1?24，x2?24，x3?5。
5.2 问题2模型的建立与求解
问题（1）的运行结果，除了告诉我们最优解和最优值以外，还有其他对分析结果有用的信息。比如 “Dual Price”这一列的数据告诉我们A,B,C三种设
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