备的对偶价格pj?0,(j?1,2,3)，即表示每增加1各单位的A,B,C设备中的任何一种，对目标函数都不产生影响。而设备B每台时的租金为于它的对偶价格p2，则借用设备B不合算。
为了验证结论是否正确，也可以建立新的线性规划模型进行求解来判断借用设备B是否合算。
类似于问题（1）的建模方法，可以很容易的建立的本小题数学模型为： 目标函数 maxz?3x1?2x2?2.9x3?18
?8x1?2x2?10x3?300?10x?5x?8x?460?123约束条件 ?
?2x1?13x2?10x3?420??x1,x2,x3?0且为整数18?0.3(千元)，高60在LINGO下输入如下程序：
model:
max=3*x1+2*x2+2.9*x3-18; 8*x1+2*x2+10*x3<=300; 10*x1+5*x2+8*x3<=460; 2*x1+13*x2+10*x3<=420;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3); end
执行程序后可得到如下输出（执行程序后的运行结果截图见附录二）：
Global optimal solution found.
Objective value: 127.0000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 4
Variable Value Reduced Cost X1 31.00000 -3.000000 X2 26.00000 -2.000000 X3 0.000000 -2.900000
Row Slack or Surplus Dual Price 1 127.0000 1.000000 2 0.000000 0.000000 3 20.00000 0.000000 4 20.00000 0.000000
5
上面的输出结果表示：LINGO求出了模型的全局最优解，最优值为127（即最大赢利为127千元），比原生产计划下的最优值134.5千元少，证明了借用设备B确实是不合算的。
5.3 问题3模型的建立与求解 5.3.1 问题3模型的建立
这一问出现了Ⅳ、Ⅴ两种新产品，造成了技术系数aij的变化。相对于上面问题（1）的模型建立，需要在这一问中引入两个新的决策变量：每月安排生产x4件产品Ⅳ，x5件产品Ⅴ。单位Ⅳ、Ⅴ产品的利润（千元）为m4?2.1,m5?1.87。 为了更好的讨论Ⅳ、Ⅴ这两种新产品投产在经济上是否合算。我们分三种情况来讨论本模型：
（1）同时投入生产新产品Ⅳ和新产品Ⅴ
目标函数：设每月生产赢利为z，故z?3x1?2x2?2.9x3?2.1x4?1.87x5 约束条件：决策受到A,B,C三种设备的有效台时tj,(j?1,2,3)的限制，
t1?300,t2?400,t3?420，技术系数为aij。故有?aijxi?tj,j?1,2,3。
,,i?15综上可得如下线性规划模型：
目标函数 maxz?3x1?2x2?2.9x3?2.1x4?1.87x5
?8x1?2x2?10x3?12x4?4x5?300?10x?5x?8x?5x?4x?400?12345约束条件 ?
2x?13x?10x?10x?12x?4202345?1??xi?0且为整数,i?1,2,3,4,5
（2）只投入生产新产品Ⅳ
分析如上，可得如下线性规划模型： 目标函数 maxz?3x1?2x2?2.9x3?2.1x4
6
?8x1?2x2?10x3?12x4?300?10x?5x?8x?5x?400?1234约束条件 ?
2x?13x?10x?10x?420234?1??xi?0且为整数,i?1,2,3,4（3）只投入生产新产品Ⅴ
分析如上，可得如下线性规划模型： 目标函数 maxz?3x1?2x2?2.9x3?1.87x5
?8x1?2x2?10x3?4x5?300?10x?5x?8x?4x?400?1235约束条件 ?
2x?13x?10x?12x?420235?1??xi?0且为整数,i?1,2,3,55.3.2 模型的求解
（1）同时投入生产新产品Ⅳ和新产品Ⅴ 在LINGO下输入如下程序：
model:
max=3*x1+2*x2+2.9*x3+2.1*x4+1.87*x5; 8*x1+2*x2+10*x3+12*x4+4*x5<=300; 10*x1+5*x2+8*x3+5*x4+4*x5<=400; 2*x1+13*x2+10*x3+10*x4+12*x5<=420;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5); end
执行程序后可得到如下输出（执行程序后的运行结果截图见附录3-1）： Global optimal solution found.
Objective value: 135.9600 Objective bound: 135.9600 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 37 Total solver iterations: 104
Variable Value Reduced Cost X1 26.00000 -3.000000 X2 19.00000 -2.000000 X3 1.000000 -2.900000 X4 1.000000 -2.100000 X5 8.000000 -1.870000
Row Slack or Surplus Dual Price 1 135.9600 1.000000
7
2 0.000000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 5.000000 0.000000
上面的输出结果表示：LINGO求出了模型的全局最优解，最优值为135.96（即最大赢利为135.96千元），比原生产计划下的最优值134.5千元多出1.46千元，说明同时投产Ⅳ、Ⅴ这两种新产品投产在经济上是合算的。
（2）只投入生产新产品Ⅳ
在LINGO下输入如下程序（执行程序后的运行结果截图见附录3-2）： model:
max=3*x1+2*x2+2.9*x3+2.1*x4; 8*x1+2*x2+10*x3+12*x4<=300; 10*x1+5*x2+8*x3+5*x4<=400; 2*x1+13*x2+10*x3+10*x4<=420;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4); end
执行程序后可得最优值为134.6（千元），比原生产计划下的最优值134.5千元多出0.1千元，说明只投产Ⅳ这种新产品投产在经济上是合算的。
（3）只投入生产新产品Ⅴ
在LINGO下输入如下程序（执行程序后的运行结果截图见附录3-3）： model:
max=3*x1+2*x2+2.9*x3+1.87*x5; 8*x1+2*x2+10*x3+4*x5<=300; 10*x1+5*x2+8*x3+4*x5<=400; 2*x1+13*x2+10*x3+12*x5<=420;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x5); end
执行程序后可得最优值为135.86（千元），比原生产计划下的最优值134.5千元多出1.36千元，说明只投产Ⅴ这种新产品投产在经济上是合算的。 综上，我们可以获得信息表：
增加的生产计划 同时投入生产新产品Ⅳ和Ⅴ 只投入生产新产品Ⅳ 只投入生产新产品Ⅴ
单位新产品的利润（千元） --- 2.1 1.87 带来的增加利润（千元） 1.46 0.1 1.36 8
由此，可以知道：出现的两种新产品Ⅳ和Ⅴ，虽然单位产品的利润m4?m5，但是若单独投产Ⅳ或Ⅴ，给工厂带来的增长利润是m4?m5。可以看到，只投入生产新产品Ⅳ带来的利润增长是很小的，只投入生产新产品Ⅴ带来的利润增长相对较大，同时投产新产品Ⅳ和Ⅴ带来的收益是最大的。所以在计划新产品的投产时，不能单独投产新产品Ⅳ，最好是同时投产新产品Ⅳ和Ⅴ。 5.4 问题4模型的建立与求解 5.4.1 问题4模型的建立
根据新给出的各项数据，可以分别将新的决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，得到该题的线性规划模型：
目标函数 maxz?4.5x1?2x2?2.9x3
?9x1?2x2?10x3?300?12x?5x?8x?400?123约束条件 ?
4x?13x?10x?42023?1??x1,x2,x3?0且为整数,,5.4.2 模型的求解
在LINGO下建立一个模型文件，输入如下程序： model:
max=4.5*x1+2*x2+2.9*x3; 9*x1+2*x2+10*x3<=300; 12*x1+5*x2+8*x3<=400; 4*x1+13*x2+10*x3<=420;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3); end
执行程序后可得到如下输出（执行程序后的运行结果截图见附录四）： Global optimal solution found.
Objective value: 152.8000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 8
Variable Value Reduced Cost X1 22.00000 -4.500000 X2 24.00000 -2.000000 X3 2.000000 -2.900000
9