证明：书上第29页公式（2-9）已推出Dmg?1n??exp?lnD??p?ii?
?100i?1?继续化简得：Dmg?pi?pi??n?n????pi??n100100?exp??lnDi???exp??lnDi??exp?ln??Di??
100??i?1??i?1?????i?1?又因为exp?lna??a(a?0) 故Dmg??Di?1ni?pi100?D?p11001?D2?p2100?D3?p3100???Dn?pn100，即得证。
20. 一次洪水后，在一段长20 km、宽1000 m的河道中产生的泥沙淤积以重量计共为3000万tf。试求：（1）设淤积物为粒径D50 = 0.2 mm的沙粒，干密度为1.20 t / m3，该河段的平均淤积厚度为多少？（2）若设淤积物为粒径D50 = 0.3 mm的粉沙，干密度为0.70 t / m3，则该河段的平均淤积厚度又是多少？
W3000?104??1.25m 解：（1）?h?3?s??A1.20?20?10?1000W3000?104??2.143m （2）?h?30.70?20?10?1000??s?A
21. 动床模型试验中常采用量瓶法测量浑水浓度。量瓶的容积约为1000 cm3，每次使用前需在当时水温下精确测量其容积。已知某次测量数据为：水温20℃，空瓶的质量为113.0 g，空瓶加水清水的质量为1146.14 g，空瓶加浑水的质量为1149.42 g，滤出瓶中浑水中的沙样烘干后得沙的质量为52.99 g。已知模型沙颗粒容重为1.065 gf / cm3，20℃时清水容重为0.9982 gf / cm3。试求：量瓶体积、沙样固体的体积、浑水的体积比和重量比浓度。 解：清水质量?1146.14?113.0?1033.14g
浑水质量?1149.42?113.0?1036.42g
1033.14?1035.003cm3
0.998252.99?49.756cm3 沙样固体的体积?1.06549.756?0.0481?4.81% 浑水的体积比浓度?1035.00352.99?0.0511?5.11% 浑水的重量比浓度?1036.42量瓶体积?
22. 推导例2-6中给出的重量ppm值S与重量比含沙量Sw的关系。 解：公式2-32推出?m?????s???Sv?????s???Sw?s代入
S?S泥沙固体重量泥沙固体重量?106??106?w?106
浑水总重量浑水总体积?浑水容重?mSwSw?106整理得到
得：S?????s????s??S?10?6 Sw??61??1???s?S?10
23. 将含沙水体的容重γm分别表达为重量比含沙量Sw的和体积比含沙量Sv的函数。 解：公式2-32得：?m?Sw??1?Sv???Sv?s??1?Sv???????s???Sv 又因为Sv?
????m?????s???????1??Sw
?s??s?Sw?s代入得：
Sw
24. 动床河工模型设计中的一个重要参数是沉速比尺λω = ωp/ωp，其中下标p表示原型沙的沉速，下标ω表示模型沙的沉速。为了达到原型、模型淤积部位相似，常令λω = λv= (λh)1 /2，其中λh是模型的垂向长度比尺。已知原型沙的容重是γs= 2650 kgf / m3，原型沙的中值粒径是D50 = 0.03 mm，原型中水温为20℃。模型的垂向长度比尺λh = 40,模型中用容重为γs= 2650 kgf / m3的电木粉末作为模拟沙。试求：
（1）试验中水温控制在20℃，则模型沙的中值粒径D50应是多少？
（2）试验中的实际水温是5℃，此时仍按（1）算出的模型沙中值粒径D50进行试验，则试验中实际的沉速比尺λω是多少？
（3）试验时水温控制在20℃，但模型中悬沙浓度为100 kg / m3，此时试验中实际的沉速比尺λω是多少？
提示：沉速用层流区公式计算，粒径用D50代表，水的物理性质如下：
水温 5℃ 20℃ 容重γ / kgf / m3 1000 998.2 运动黏滞系数ν / m2 / s 1.514×10 -61.004×10 -6悬沙浓度较大时，泥沙沉速的修正式为ω / ω0 = (1-Sv)5。不考虑浓度对黏滞系数的影响。 解：（1）
?p??h?40?6.3246 ??1?s??gD2层流区沉速计算公式为??，且模型与原型水温同为20℃
18???p?sp??pD50p2?2650?998.2??0.032???40，得D50??0.02164mm且故22???s????D50??1500?998.2??D50??p?1?sp??pgD50p?18?p?p2?2650?998.2??9.8??0.03?10?3?18?998.2?1.004?10?62
?8.07611?10?4m/s（2）模型水温为5℃，原型水温为20℃，此时
?1500?1000??9.8??0.02164?101?s????gD50?????18????18?1000?1.514?10?62?32?
?8.42000?10?5m/s?p8.07611?10?4故?h???9.59158
??8.42000?10?5（3）模型与原型水温同为20℃
8.07611?10?4?0???1.27695?10?4m/s
4040Sv?模型悬沙浓度1001??
模型沙密度1500155?p故????0?1?Sv?1???1.27695?10?4??1???0.90439?10?4m/s
?15?5?p8.07611?10?4所以?????8.92990?10?4m/s ?4??0.90439?10第三章 1~6题略
1. 写出明渠均匀流动断面平均流速的经典阻力方程式。 答：
2. 试述明渠均匀流动断面平均流速的对数律公式各变量的意义。 答：对数律公式
?R????5.75lg?12.27?
ks?U*??U其中，ks为边界粗糙突起的高度，也称边壁粗糙尺度或床面粗糙尺度；R?为沙粒阻力对应的水力半径；U*??gR?J，为沙粒阻力对应的剪切流速；?为校正系数，由图3-10确定，
图中??11.6?U*，为粘性底层的计算厚度。
3. 分析下列针对明渠水流阻力问题所作的判断是否正确： （1）Manning系数n只随边界粗糙度而变；
（2）Darcy-Weisbach系数f不仅与边界粗糙程度有关，还与水深有关。 答：
（1）错，如河底沙波的消长，或当河渠中的杂草生长时，水流强度低的情况下杂草直立使n值较大，而水流强度大的情况下（例如发生洪水时），杂草会倒伏，使得n值较小。
8gn2（2）对，由公式（3-21）得：f?13，而式中R与h有关。
R
4. Shields数可以看作哪两个力的比值？
答：Shields数可以看作水流作用在床面上的剪切力与床沙水下重力的比值。
5. 试说明水流的流区与床面形态之间的关系。
答：对应于定床水流的缓流、临界流、急流三种情况，可以将动床明渠水流的能态分为如下三种，各自对应于不同的床面形态，如书上图3-4所示。 （1）低能态流区：其床面形态包括：①沙纹；②沙垄。
（2）过渡区。其床面形态是平整床面，这是从沙垄到逆行沙垄的过渡区。
（3）高能态流区。其床面形态包括：①平整床面；②逆行沙垄和驻波；③急滩与深潭。
非平整状况下沙质河床形态统称为沙波。
6. 试推导Chezy阻力系数C、Manning糙率系数n、Darcy-Weisbach阻力系数f、对数公式中粗糙突起高度ks、床沙代表粒径D65五者之间的关系。 答：略，详见书上第60页公式（3-21）的推导。
7. 某渠道断面为梯形，底宽为 5.0 m，边坡1﹕2，坡降J = 3/10000（万分之三），边壁突起高度ks = 0.008 mm，无床面形态，试用Einstein的断面平均流速公式求Q = 35 m3/s时的水深。
解：已知b = 5.0 m，m = 2，J = 0.0003，ks = 0.008 m，Q = 35 m3/s 水力半径
R??b?mh?hb?21?m2hU??5?2h?h
5?25hEinstein 统一公式为
?R????5.75lg?12.27?，无床面形态，所以R?R?,U*?U*?
ks?U*??又因为U?Q35?，U*?gRJ?9.8?R?0.0003?0.00294R，A?5?2h?hks??0.0080.008?0.00294R??37.39432R，?可查图3-10，代入得： ?611.6?U*11.6?1035?5?2h?hR????5.75lg?12.27?0.008? 0.00294R?此公式两边皆为关于h的函数，故采用试算法
h / m 2.000 3.000 2.500 2.600 2.550 2.570 2.580 2.590 2.586 R / m 1.291 1.792 1.545 1.595 1.570 1.580 1.585 1.590 1.588 U* / m/s ks/δ 0.062 0.073 0.067 0.068 0.068 0.068 0.068 0.068 0.068 42.486 50.056 46.482 47.226 46.856 47.004 47.078 47.152 47.122 χ U / m/s 公式左边 公式右边 1.0 1.944 31.563 18.956 1.0 1.061 14.613 19.775 1.0 1.400 20.772 19.405 1.0 1.320 19.273 19.484 1.0 1.359 20.002 19.445 1.0 1.343 19.706 19.460 1.0 1.335 19.560 19.468 1.0 1.327 19.416 19.476 1.0 1.331 19.473 19.473 得水深h = 2.586 m
也可采用Fortran 编程调用IMSL 库，源程序如下： program main use IMSL
implicit none
real(8), parameter :: ERRABS = 0.0
real(8), parameter :: ERRREL = 0.000001 integer :: MAXFN = 100 real(8) :: A,B
real(8), external :: F A=2. B=3.
call DZBREN (F, ERRABS, ERRREL, A, B, MAXFN) write(*,*) B,MAXFN end program