习题1
一、 填空题
1．玻尔的量子化条件为 。 2．德布罗意关系为 。
3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为 。 4．波函数的统计解释：_____________________________________ __________________________________________________________ 5．
为归一化波函数，粒子在
方向、立体角
内出现的几率
为 ，在半径为 ，厚度为 为 。
的球壳内粒子出现的几率
6．波函数的标准条件为 。 7．
，
为单位矩阵，则算符
的本征值为__________。
8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子 ___________守恒。
9．力学量算符应满足的两个性质是 。 10．厄密算符的本征函数具有 。 11．设
为归一化的动量表象下的波函数，则
的物理意义为
_______________________________________________。 12.
______;
_______;
_________。
___。
28．如两力学量算符 有共同本征函数完全系，则
13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。 14．在定态条件下，守恒的力学量是_______________________。 15．隧道效应是指__________________________________________。 16．量子力学中，原子的轨道半径实际是指____________________。 17．
为氢原子的波函数，
的取值范围分别
为 。
18．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为 ，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为 ，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为 。 19．设体系的状态波函数为 符
与态矢量
，如在该状态下测量力学量
有确定的值
，则力学量算
的关系为__________。
在态
下的平均值可写为
的条件为
20．力学量算符
____________________________。
21．量子力学中的态是希尔伯特空间的____________；算符是希尔伯特空间的____________。
21．设粒子处于态
数c的取值为 ， ??????，
本征值为
的可能值为
， 为归一化波函数， 为球谐函数，则系
出现的几率为 。
22．原子跃迁的选择定则为 。 23．自旋角动量与自旋磁矩的关系为 。 24．
为泡利算符，则
，
，
。
25．
为自旋算符，则
，
，
。
26．乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是 ________________________， _______________________________。
27．轨道磁矩与轨道角动量的关系是______________;自旋磁矩与自旋角动量的关系是______________。
27．费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有______________, 玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有_________。
27． 考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为 （已归一化），则在态
下，自旋算符 对自旋的平均可表示为_______________；对坐标和自旋同时
求平均的结果可表示为______________________。
27． 考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为
的意义为_____________________；
_________________。
二、 计算题 1．在
和
的共同表象中，算符
和
的矩阵分别为
（已归一化），则
，
。
求它们的本征值和归一化本征函数，并将矩阵 2． 一维运动粒子的状态是
和
对角化。
其中
，求
（1） 粒子动量的几率分布函数；（2）粒子的平均动量。
（利用公式 3． 设在
表象中，
） 的矩阵表示为
其中
，试用微扰论求能级二级修正。（10分）
4． 在自旋态 5．
中，求
。（10分）
也是厄密算符的条件是
的矩阵元。 方向的投影
的本征值和所属的本征函数。
对易。
各是厄密算符。试证明，
的矩阵元和
6． 在动量表象中角动量 7．求自旋角动量在
8．转动惯量为 ，电偶极矩为 的空间转子处在均匀电场
中，如果电场很小，用微扰论求转子基态能量的二级修正。（10分）
（基态波函数
，利用公式
）
9．证明下列关系式： 1． 3.
， 2. , 4.
(其中 为角动量算符， ， 为泡利算符，
为动量算符)
10． 设 均动能。 11．
时，粒子的状态为 ，求此时粒子的平均动量和平
为厄密算符， （ 为单位算符），
的矩阵表示。
。（1）求算符
的本征值；（2）在A表象下求算符
12． 已知体系的哈密顿量 ，试求出（1）体系能量本征值及相应的归一
化本征矢量。（2）将H对角化，并给出对角化的么正变换矩阵。 13．一质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，
， b为小量，用微扰法求粒子的能级（近似到一级）。
14．证明下列算符的对易关系。 1． 2.
3. 设算符 证明：
(
；
)
对易，即：
，
与它们的对易式
15．设有两个电子，自旋态分别
， ，证明两个电子处于自旋单态（ ）及三重态
（ ）的几率分别为：
方向的投影
（20分）。
16．求自旋角动量在
的本征值和所属的本征函数（20分）。
17．由任意一对已归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符 是厄密算符；（2）有
；（3）
的本征值为0和1（20分）。
。试证明（1）
18． 设在 表象中， 的矩阵表示为 扰论求能级二级修正（14分）。 19．证明下列算符的对易关系（24分）： 1． 2. 3. 设算符
(
与它们的对易式
)
对易，即：
，其中 ，试用微
，证明：
20．一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有
两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？ 21．求证在 均值为
22．证明如算符
的共同本征态下，角动量沿与z轴成 。
有共同的本征函数完备集，则
对易。
角的方向 的分量
的平
23．求
三 问答题
及 的本征值和所属的本征函数。
1． 电子在均匀电场
各量中哪些是守恒量，为什么？
中运动，哈密顿量为 ，试判断
2． 经典的波和量子力学中的几率波有什么本质区别？
3． 量子力学中的力学量用什么算符表示？为什么？力学量算符在自身表象中的矩阵是什么形式？
4． 什么是全同性原理和泡利不相容原理，二者是什么关系？ 5． 表明电子有自旋的实验事实有哪些？自旋有什么特征？ 6． 乌伦贝克关于自旋的的基本假设是什么？
7． 什么是塞曼效应，对简单塞曼效应，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为几条？ 8． 什么是光谱的精细结构？产生精细结构的原因是什么？考虑精细结构后能级的简并度是多少？
9． 什么是斯塔克效应？