测量Sz的平均值又是多少？（10分）
四、一个质量为m，无电荷但自旋为1/2，磁矩为???2?0s的粒子在一维无限深势阱???0; x?L中运动，其中?0和L是正常数，x是粒子的坐标，s是粒子的自旋V(x)????; x?L??算符。现在考虑在x?0的半空间中有一沿z方向的均匀磁场，其大小为B，而在x?0的半空
间有一同样大小但沿x方向的均匀磁场。在弱磁场极限下用微扰论找出体系基态的能级和波函数，并指出B能作为弱磁场处理的具体条件。（微扰只须计算到最低阶，自选空间的波函数在Pauli表象下写出。）（30分）
五、一个质量为m的无自旋的粒子在三维情形下与一个球对称势V(r)??C?(r?a)作用，其中C，a为正常数，r是径向坐标，为了保证该体系至少有一个束缚态存在，试问C的值最小可以取多少？ （30分）
?21六、一个质量为m的无自旋的粒子受到中心势V(r)??的散射，其中a是22macosh(r/a)d2y22?ikx?ky?y?0常数。已知方程有解y?e(tanhx?ik)，在低能极限下，求22dxcoshx粒子能量为E时，s分波的散射截面及其角分布。（30分）
南京大学2005年硕士研究生入学考试试题——量子力学
一、问答题
1、试述量子态的叠加原理。（5分）
讨论自由粒子的波函数是否一定是平面波？问什么？（5分） 2、为什么波函数?(x,t)必定是复数？（5分）
一维定态薛定谔方程的解?(x)是否也必定是复数？（5分） 3、以下的波函数是否代表同一个量子态，并说明为什么： （1）、?(x,t)和ei?（5分） ?(x,t)，其中?是实常数；
（2）、?(x,t)和ei?(z)?(x,t)，其中?(x)是实函数。（5分）
?应是线性厄米算符？（10分） 4、为什么力学量算符A 5、为什么全同粒子的波函数对于粒子的交换应是对称或反对称的？（10分）
??0; x?a二、质量为?的粒子在一维无穷深势阱中运动，V(x)??
1; x?a??其中a是正实数，求解定态薛定谔方程。（20分）
?122???x; x?0三、质量为?的粒子在一维势场中运动，势能为：V(x)??2 ，
? ; x?0?? 其中x>0区V(x)为谐振子势能，求解基态的能量和归一化的波函数。（20分）
四、设质子是半径为R的薄球壳，其电荷e均匀分布在球壳表面上。对于氢原子，以电子所受
势能偏离质子为点粒子模型时的值为微扰，求氢原子第一激发态能量的一级修正E2（积分公式列出后不必计算）。（20分）
(1)e???S，其中g=1.9，M为中子质量。当自旋在z方向向上极五、中子有内禀磁矩：M??gMc化的中子束，沿x轴作一维运动时，在x<0区没有磁场而在x>0区域存在恒定磁场B，其方向沿z方向。若能量E?ge?B，求解中子的一维散射运动。（20分） 2Mc六、求两个关在一维无穷深势阱V(x)??中，并以接触势U(x1,x2)?d?(x10?x?a?0; （a为正常数）
??; x?0, x?a?x2) (d??1)相互作用的全同中子系统的零级近似
归一化波函数（考虑自旋态），并以接触势为微扰，求准到一次方的基态能量。（20分）
南京大学1998年硕士研究生考试试题——量子力学
???(一) 20分 有半壁无限高势垒的一维阱 V?x???0?V?0在Ex?00?x?a x?a?V0的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至
少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？
（二）20分 一个取向用角坐标?和?确定的转子，作受碍转动，用下述哈密顿量描述：
?2是角动量平方??AL?2?B?2cos?2??，式中A和B均为常数，且A??B，LH算符，试用一级微扰论计算系统的p能级（l?1）的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。
（三）20分求在一维无限深势阱中，处于?n?x?态时的粒子的动量分布几率?n?p?（四）20分 试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写出正确的结果： （1）
2 。
e???i?p?e????xj?e????i?????xpj?1i?2?和? ？式中ij分别是x和y方向的单位矢量。
，
???'?p??x,p?xf?x??p?x??p?xf(x) ？式中x（2）?pi?xi2??p???V?r? ，设?n?r?是归一化的束缚态波函数，则（3）系统的哈密顿算符为H?2?有：
??2p1???n?n??nr??V?r??n2?2 ？
?（五）20分碱金属原子处在z方向的外磁场B中，微扰哈密顿为H1??Hls??H? ，其中?HlsB??eB??1dV???LZ?2SZ?L?S ，HB?22?2?c2?c?rdr?1?? ，
当外磁场很弱时，那些力学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似波函数，能使微扰计算比较简单，为什么？ 注： Ylm?0?2l?1??l?m?!4?1/2?cos??eP?l?m?!ml1im?
12??x?x；P1P1?x???1?x?；
21/2????x x?31?xP2
P?x??3?1?x?
222南京大学1999年硕士研究生考试试题——量子力学专业: 理论物理、粒子物理与原子核物理 (20分) 一、 t＝0时，粒子的状态为?(x)?A[sin2kx]，求此时动量的可能测值和相应的
几率，并计算动量的平均值。
二、粒子被约束在半径为 r的圆周上运动
(20分) (a) 设立“路障”进一步限制粒子在0????0的一段圆弧上运动：
?0V(?)????(0????0)(?0???2?)
求解粒子的能量本征值和本征函数。
(10分) (b) 设粒子处在情形(a)的基态，求突然撤去“路障”后，粒子仍然处于最
低能量态的几率是多少?
3?2?2(20分) 三、边长为 a的刚性立方势箱中的电子，具有能量 ，如微扰哈密顿2maH1?bxy，试求对能量的一级修正(式中b为常数)。
(15分) 四、 对自旋为1／2的粒子，Sy和 Sz是自旋角动量算符，求ASy+BSz的本征函数和本
征值(A和B是实常数)。
(15分) 五、已知t=0时，一维自由粒子波函数在坐标表象和动量表象的表示分别是
?(x)?Nxexp(??x2)exp(ip0x/h)； ?(p)?c(p?p0)exp[?b(p?p0)2]
式中N、?、c、b和
p0都是已知实常数．试求t=0和t>0时粒子坐标和动量的平均
值,
?x?t?0????表示力学量算符A?的平均值）?p?t?0??，（?A。
*
??0xe2?ax2dx?1?4aa
南京大学2000年硕士研究生入学考试试题——量子力学专业:理论物理,凝聚态物理,光学等
?x??12e一维谐振子处在?(x)?1/2?22五.
状态, ??m??, 求:
(1) 势能的平均值 (7分) (2) 动能的几率分布函数 (7分) (3) 动能的平均值 (7分) 提示:
?????e?(x?i?)2dx??
x?0???六. 质量为m的粒子在一维势场V(x)??0 0?x?a中运动,求,
?Vx?a?0(1) 决定束缚态能级的方程式 (15分) (2) 至少存在一个束缚态的条件 (5分)
七. 质量为m
??x?0,x?a的粒子在一维势场V(x)?? 中运动,其中c是小
cx0?x?a?1的非全同粒子系的哈密顿量 2的实常数，试用微扰论求准到c一次方的基态能量. (20分) 八. 两个自旋
?????Hs??J[S(1)?S(2)] J?0
?的能量本征值和相应的简并度. (20分) 求Hs?五．(1) 设氢原子处于沿z方向的均匀静磁场B中, 不考虑自旋,在弱磁场情形下求n=2能级
的分裂情况. (10分)
(2) 如果沿z方向不仅有均匀静磁场B,还有均匀静电场E, 再用微扰论求n=2能级的
分裂情况. (9分)
提示:
??200z210??3a
南京大学2001年硕士研究生入学考试试题———量子力学专业： 理论物理、、凝聚态物理、光学等
一、有一质量为?的粒子处于长度为a的一维无限深势阱中V?x?????,x?0;x?a，在t=0
?0,0?x?a?0,x?0;x?a时刻，粒子的状态由波函数??x???描述。求： （20分）
?Ax(a?x),0?x?a5. 归一化常数A; 6. 粒子能量的平均值；
7. t=0时刻，粒子能量的几率分布； 8. 人艺t>0时刻的波函数的级数表达式。
1?4?提示：? 496n?1,3,5???n二、考虑势能为V?x????V0,x?0的一维系统，其中V0为正常数。若一能量为E的粒子从
?0,x?0（20分） x???处入射，其透射系数和反射系数各为多少？考虑E的所有可能值。
1p222三、有一质量为?的粒子，在一维谐振子势场V?x????x中运动。在动能T?的非
22?相对论极限下，基态能E0?1??????2???，基态波函数为?0?x???expx?。????2?????2??1阶。（c为光速）（20分） c214考虑T与p的关系的相对论修正，计算基态能级的移动?E至
四、氯化钠晶体中有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子。可将这些电子看成束缚在一个尺度为晶格常数的三维无限深势阱中。晶体处于室温，试粗略地估计被这些电子强烈吸收的电磁波的最长的波长。 （20分）
提示：电子质量mc2?0.511MeV,?c?197MeV?fm，晶格常数a?1A
0五、考虑自旋S?1?的系统， 2?3． 求算符T??BS?的本征值和归一化本征波函数；（A、B为实常数） ?ASyz???（20?的几率。
2???结果为???的某一个本征态上，求此时测量S4． 若此时系统正处在Ty分）
南京大学2002年硕士研究生入学考试试题———量子力学
2六、 一维自由粒子的状态由波函数??x??sinkx?1coskx描述。求粒子的动量平均值和2动能平均值。（20分）
七、 粒子被约束在半径为r的圆周上运动
3） 设立“路障”进一步限制粒子在
0????0的一段圆弧上运动，即