二。[30分]一维线性谐振子：
m?2x2质量为m的粒子在一维线性谐振子势：V(x)?中运动。按占有数表象，哈密顿可写
2?????1。这里a?是湮灭算符，a??是产生算符： 为：H???aa2????m???i??a?x?p???2?m???? ???a???m??x??i?p???2??m???已知一维线性谐振子基态波函数为：
??01。[10分]利用产生算符性质：a1??x???1?x?，求线性谐振子第一激发态在坐标表象下的
m?x22??m??4?波函数：?1?x?；（?0?x????e????2。[10分]假设粒子处在基态?0）
?x?，突然改变一维线性谐振子的“振动频率”为???2?，
12粒子新的基态能是多少？新的基态波函数是什么？
m?x?m??4?2?3。[10分]假设这时粒子波函数仍然保持不变（??x???），此时测量粒子能?e????量，发现粒子能量取新的基态能的几率是多少？ 解：1）?1?x??a?0?x???m?2?i???m????x?p????em???????14?m?x22?
??2x2??d???利用：x?x,p?，?0?x??1/4exp??，其中：???idx??2??1?x??a?0?x???m? ?????2x2?i?d??exp???x??m?idx??1/42?2???????x??2x2?1d???x?2?1/4exp???dx??2?2?????2x2???2x2?1d?exp??exp????1/41/4?2dx2?22????????2x2???2x2??3/2x12?1/4exp????x?exp??2???1/42?2?2??????
?2?3/2?1/4??2x2?xexp????2??2?x?0?x???2）新基态能：E0?????? 2xm?x4?m???4?m?2m????2?? ??x???新基态波函数：?0???e?e????????1?2123）测量粒子能量取新基态能的几率：w?三。[40分]两电子波函数：
???x??02?1/42?22??2??0.9428 ???3?3?2考虑两个电子组成的系统。它们空间部分波函数在交换电子空间部分坐标时可以是对称的或是反对称的。由于电子是费米子，整体波函数在交换全部坐标变量（包括空间部分和自旋部分）时必须是反对称的。
1。[15分]假设空间部分波函数是反对称的，求对应自旋部分波函数。总自旋算符定义为：
?2????S?s1?s2。求：S和Sz的本征值；
?2?2。[15分]假设空间部分波函数是对称的，求对应自旋部分波函数，S和Sz的本征值；
3。[10分]假设两电子系统哈密顿量为：H的能量。
解：1）[15分]自旋三重态（spin triplet） 空间部分波函数是反对称的，自旋部分应对称：
???? ???s?????1?????????2???（2）两种情形，求系统?Js1?s2，分别针对（1）
对应总自旋平方S本征值为：2? 对应总自旋第三分量Sz本征值分别为：?,??,0 2）自旋单态空间部分波函数是对称的，自旋部分应反对称：?A22?1?????? ?2对应总自旋平方S本征值为：0 对应总自旋第三分量Sz本征值分别为：0
2S2?s12?s22??3）哈密顿：H?Js1?s2，利用：s1?s2?
232?2?2??2J?24针对自旋三重态：s1?s2??，对应能量：ET??2 42430?2??23J23?24? 针对自旋单态：s1?s2?，对应能量：ES????424 量子力学考研模拟题参考答案
一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：??Ae
2、定态：定态是能量取确定值的状态。性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。
3、全同费米子的波函数是反对称波函数。两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为：
i??(p?r?Et)??A?1??1(q1)?2(q2)??1(q2)?2(q1)?2。
222?x是厄密算符，所以????x[p?x,x]?i[p?x,x]p?x?2?p?x，因为pi(px?xp)i[p,x]?ipxxx4、=
22?x?xi(px?xp)是厄密算符。
?和G的对易关系FG?GF5、设F?k???ik，是一个算符或普通的数。以F、G和k依次表
?k??G??G?、G??F??F，?G示F和在态?中的平均值，令 ?F，
2k22?)??)?(?G(?F4，这个关系式称为测不准关系。 则有
??x??x??p?p2 坐标x和动量x之间的测不准关系为：
?2?1，所以算符A?的本征值是?1，因为在A表象中，算符A?的矩阵是对二、解1、由于A???10??(A)????A??0?1??? A角矩阵，所以，在A表象中算符的矩阵是：
b11b12??(A)????B??bb?B??0得：b11?b22?0；??B?A?2122??，利用A 设在A表象中算符B的矩阵是
0??0b12??0b12??b12b211????????1?b?12?b??b??0?200bbb21；由于B??是21212112??????由于B?1，所以，?0?1??b???B?B厄密算符，，??12b12????0??0???b*??121?*?b12??b?112*0?b12?
?0?B(A)???e?i?i??b?e??令12，其中为任意实常数，得B在A表象中的矩阵表示式为：
i???0e?(B)???A?i???e0??? A2、类似地，可求出在B表象中算符的矩阵表示为：
ei???0??
?0ei??????ei???????????i?????????????????????i????????e0e???????? ? ????在B表象中算符A的本征方程为：，即
?????ei???0??i??e?????0 ?和?不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即 ei??02?? ? ??1?0 ????1 1?ei??1?ei?????????A??A?????1?122??1???1???? 对有：，对有：??e?i?1?ei??1?ei??????????1?1?22???? ?1A所以，在B表象中算符的本征值是，本征函数为和1?ei??1?ei??????????1?122????? 3、类似地，在A表象中算符B的本征值是?1，本征函数为和
?在A表象中的本征函数按列排成的矩阵，即从A表象到B表象的幺正变换矩阵就是将算符B1?ei??S?2??1e?i????1??
es21En??(n?1,2,3?)22an0三、解： 已知氢原子的本征解为：
?nlm(r,?,?)?Rnl(r)Ylm(?,?)，将?(r,0)向氢原子的本征态展开，
1、?(r,0)=nlm?cnlm(0)?nlm(r,?,?)，不为零的展开系数只有三个，即
c210(0)?11c(0)??1c(0)?31021?12，2，显然，题中所给的状态并未归一化，容2，
4易求出归一化常数为：5，于是归一化的展开系数为：
1421141c310(0)????c21?1(0)?c210(0)??5， 255，2521232W(E2,0)???W(E3,0)?555，5， （1）能量的取值几率
32E?E2?E355 平均值为：
42?55
22??2?2?2 W(2?,0)?1，平均值LL（2）取值几率只有：
1232???2?W(??,0)?LW(0?,0)???z?5 555，5，平均值（3）Lz的取值几率为：
ic(0)?(r,?,?)exp(?Ent)?nlmnlm?(r,t)?2、t?0时体系的波函数为：=nlm
iiE2t)?c310(0)?310(r,?,?)exp(?E3t)??12i2i?[?210(r,?,?)??21?1(r,?,?)]exp(?E2t)??310(r,?,?)exp(?E3t)55?5?
??2和Lz皆为守恒量，所以它们的取值几率和平均值均不随时间改变，与t?0时的由于E、L?[c210(0)?210(r,?,?)?c21?1(0)?21?1(r,?,?)]exp(?结果是一样的。
四、解：（1）H的本征值是方程det(H1??C0????I)?0的根
0?
C03??00?(C?2??)(?2?4??3?C2)C?2??
结果：??C?2，??的精确解。 ?2?1?C2，这是H(0)(1)(2)E?E?E?Ennnn（2）根据题意，体系能级的二级修正可写为：
??C??0，H22??0，H33
?H21??H31?H12H13C20C2(2)E1?(0)?(0)????(0)(0)E?EE?E1?31?(?2)2 1213对于二级修正，有：
?H12??H32?H21H23C20C2(2)E2?(0)?(0)???(0)(0)E2?E1E2?E33?13?(?2)222?H13??H23?H31H32(2)CCE3?(0)?(0)?0E1?1?E2?3?(0)E3?E1(0)E3?E222，E3??2?C 所以，，
由题设可知：能量的一级修正为：H11将??2?1?C2展开：
??2?1?C2?2?(1?C2??)
12113?C21?C222，?2?2， (C??1)（3）对比可知，根据微扰公式求得 ??1?的能量二级修正值，与精确求解的结果是吻合的。
111?1i?1?Sx??iSy????i()??02222222五、解：， 111?1?i?11S???Sx??iSy????i()????22222222
111?1i?11S???Sx??iSy????i()????22222222 111?1?i?1S???Sx??iSy????i()??02222222
?1??0?11????????????0122SSS????的结果是 ??z所以和分别作用于的本征态和
S??111111?0S?????S?????S???022，22，22，
结果表明：称S?为自旋升算符是合理的，因为它将z方向的自旋从??2增加到?2。同样，称S?为自旋降算符，因为它将z方向的自旋从?2降到??2。S?和S?容许我们从Sz的一S??个本征态跳跃到另一个本征态，它们在自旋的计算中是非常有用的。