(20分) 一、 t＝0时，粒子的状态为?(x)?A[sin2kx]，求此时动量的可能测值和相应的
几率，并计算动量的平均值。
二、粒子被约束在半径为 r的圆周上运动
(20分) (a) 设立“路障”进一步限制粒子在0????0的一段圆弧上运动：
?0V(?)????(0????0)(?0???2?)
求解粒子的能量本征值和本征函数。
(10分) (b) 设粒子处在情形(a)的基态，求突然撤去“路障”后，粒子仍然处于最
低能量态的几率是多少?
3?2?2(20分) 三、边长为 a的刚性立方势箱中的电子，具有能量 ，如微扰哈密顿2maH1?bxy，试求对能量的一级修正(式中b为常数)。
(15分) 四、 对自旋为1／2的粒子，Sy和 Sz是自旋角动量算符，求ASy+BSz的本征函数和本
征值(A和B是实常数)。
(15分) 五、已知t=0时，一维自由粒子波函数在坐标表象和动量表象的表示分别是
?(x)?Nxexp(??x2)exp(ip0x/h)； ?(p)?c(p?p0)exp[?b(p?p0)2]
式中N、?、c、b和
p0都是已知实常数．试求t=0和t>0时粒子坐标和动量的平均
??表示力学量算符A?的平均值）?p?t?0??，（?A。
*
值,
?x?t?0????0xe2?ax21?dx?4aa?
南京大学2000年硕士研究生入学考试试题——量子力学专业:理论物理,凝聚态物理,光学等
?x??12e一维谐振子处在?(x)?1/2?22一.
状态, ?m??, 求:
(1) 势能的平均值 (7分) (2) 动能的几率分布函数 (7分) (3) 动能的平均值 (7分) 提示:
?????e?(x?i?)2dx??
x?0???二. 质量为m的粒子在一维势场V(x)??0 0?x?a中运动,求,
?Vx?a?0(1) 决定束缚态能级的方程式 (15分)
(2) 至少存在一个束缚态的条件 (5分)
三. 质量为m
??x?0,x?a的粒子在一维势场V(x)?? 中运动,其中c是小
cx0?x?a?1的非全同粒子系的哈密顿量 2的实常数，试用微扰论求准到c一次方的基态能量. (20分) 四. 两个自旋
?????Hs??J[S(1)?S(2)] J?0
?的能量本征值和相应的简并度. (20分) 求Hs?五．(1) 设氢原子处于沿z方向的均匀静磁场B中, 不考虑自旋,在弱磁场情形下求n=2能级
的分裂情况. (10分)
(2) 如果沿z方向不仅有均匀静磁场B,还有均匀静电场E, 再用微扰论求n=2能级的
分裂情况. (9分)
提示:
??200z210??3a
南京大学2001年硕士研究生入学考试试题———量子力学专业： 理论物理、、凝聚态物理、光学等
一、有一质量为?的粒子处于长度为a的一维无限深势阱中V?x?????,x?0;x?a，在t=0
?0,0?x?a?0,x?0;x?a时刻，粒子的状态由波函数??x???描述。求： （20分）
Ax(a?x),0?x?a?1. 归一化常数A; 2. 粒子能量的平均值；
3. t=0时刻，粒子能量的几率分布； 4. 人艺t>0时刻的波函数的级数表达式。
1?4?提示：? 496nn?1,3,5???二、考虑势能为V?x????V0,x?0的一维系统，其中V0为正常数。若一能量为E的粒子从
?0,x?0（20分） x???处入射，其透射系数和反射系数各为多少？考虑E的所有可能值。
1p222三、有一质量为?的粒子，在一维谐振子势场V?x????x中运动。在动能T?的非
22?相对论极限下，基态能E0?1??????2???，基态波函数为?0?x???x?。??exp??2?????2??14考虑T与p的关系的相对论修正，计算基态能级的移动?E至
1阶。（c为光速）（20分） c2四、氯化钠晶体中有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子。可将这些电子看成束缚在一个尺度为晶格常数的三维无限深势阱中。晶体处于室温，试粗略地估计被这些电子强烈吸收的电磁波的最长的波长。 （20分）
提示：电子质量mc2?0.511MeV,?c?197MeV?fm，晶格常数a?1A
0五、考虑自旋S?1?的系统， 2?1． 求算符T??BS?的本征值和归一化本征波函数；（A、B为实常数） ?ASyz???（20?的几率。
2???结果为???的某一个本征态上，求此时测量S2． 若此时系统正处在Ty分）
南京大学2002年硕士研究生入学考试试题———量子力学
2一、 一维自由粒子的状态由波函数??x??sinkx?1coskx描述。求粒子的动量平均值和2动能平均值。（20分）
二、 粒子被约束在半径为r的圆周上运动
1） 设立“路障”进一步限制粒子在
0????0的一段圆弧上运动，即
?0,0????0，求解粒子的能量本征值和本征函数； V???????,?0???2?2） 设粒子处在上述情形的基态，现突然撤去“路障”，问撤去“路障”后，粒子仍然处在
最低能量态的几率是多少？（20
分）提示：在柱坐标系下
1???u?1?2u?2u??u????2?2 ??2???????????z2三、 设算符
????a????是Na,a?1??a?且?N，证明：如果的本征函数，对应的本征值为???，那么，波函数?1?的本征函数，对应的本征值为??1，而波函数??也是N?a?的本征函数，对应的本征值为??1。???也是N（20分） ?2?a?0,0?x,y?a四、 一个粒子在二维无限深势阱V?x???中运动，设加上微扰H1??xy
?,elsewhere??0?x,y?a?，求基态和第一激发态的一阶能量修正（20分）
????五、 若电子处于Sz的本征态，试证在此态中，Sy取值为?或
2分）
2的几率各为
1。（202南京大学2003年硕士研究生入学考试试题——量子力学专 业: 理论物理,凝聚态物理 一、一个质量为?的粒子处于一维谐振子势V?x??1??2x2中运动，?为谐振子的本征振动2频率。如果t?0时，该粒子处于态??x,0??1?0?x??c?2?x?，其中?0?x?和3?2?x?分别为一维谐振子的基态和第二激发态的能量本征波函数，c为待定常数且
c?0。
1） 2） 3） 4）
根据归一化条件，求待定常数c；（5分） 求t时刻粒子所处的状态?（5分） ?x,t?；
（10分）
求测量粒子的能量所能得到的可能值和测到这些值的几率； 求粒子能量的平均值； （5分）
'5） 若在t??时刻，粒子所处的势场突然变为V新的势场 V'1?x????2x2，求粒子在?时刻处于
3（5分）
?x?的第一激发态的几率。
二、一根长为l的无质量的绳子一端固定，另一端系质点m。在重力作用下，质点在竖直平面内摆动，
1） 写出质点运动的哈密顿量；
（10分）
（10分）
2） 在小角近似下求系统的能级； （10分）
3） 求由于小角近似的误差而产生的基态能量的最低阶修正。 提示：质量为
m，本征频率为
?的一维谐振子的基态波函数为
；
?0?x??Cexp???2x2??1?2m??，其中C是归一化常数，?????????exp??x2?dx??。
三、质量为?的粒子从左向右作一维运动，穿越了一个宽度为
a，高度为V0的一维势垒
?0 |x|?a/2。设粒子的能量E?V0。试求发生共振透射（即透射系数为V?x????V0 |x|?a/21）的条件。（30分）
???四、两个自旋为1/2的粒子组成的系统由哈密顿量H?A?S1z?S2z??BS1?S2描述，其中S1和分别是两个粒子的自旋，而S1z和S2z则分别是这两个粒子自旋的z分量，A和B是实常数。求该哈密顿量的所有能级。
（30分）
五、一个质量为?，带电荷为q的粒子，束缚在宽度为a的一维无限深势阱
?0 |x|?a/2中运动。如果在入射光的照射下，该粒子能在不同能级间发生V?x????? |x|?a/2偶极辐射跃迁，求跃迁的选择规则。
（30分）
六、两个粒子被束缚在一个边长为a?b?c的长方体盒子中运动，粒子间的相互作用势能为
??????V?x1,x2??A??x1?x2?可以作为微扰，其中x1和x2分别为两个粒子的坐标，A为实常
数。分别就以下两种情形求体系的最低能量态的能量，要求准至A的一次方。 1） 两个粒子为自旋为零的全同玻色子；
分）
南京大学2004年硕士研究生入学考试试题——量子力学
一、已知电子质量为?，电子电量为(-e)，回答以下问题：
1) 一个电子被限制在宽度为a的一维无限深势阱中运动，请写出该体系的能级公式；（5
分）
2) 五个电子被限制在宽度为a的一维无限深势阱中运动，不考虑电子和电子之间的库仑
相互作用，请写出该体系的基态和第一激发态的能级公式。（10分） 3) 一个电子处于一维谐振子势场
（15分）
2） 两个粒子为自旋为1/2的全同费米子，且这两个粒子的自旋平行(即总自旋为1)。（15
1??2x2中运动，其中?是谐振子的本征园频率，x是2电子的坐标，请写出该体系的能级公式。（5分）
4) 如果电子在上题中的一维谐振子势场中运动，并且假定电子恰好处在某个能量本征态
上，求电子的坐标和动量的平均值，这些平均值随时间变化么？（10分）
5) 请写出氢原子体系的能级公式和电子的基态波函数，这里假定原子核是不动的；（10
分）
e26) 假定氢原子处于基态，求电子势能?的平均值，其中r是电子的径向坐标。（10
r分）
二、假定电子的波函数在球坐标体系下写为：?(r,?,?)?(ei?sin??cos?)g(r)，其中
?2的可能测量值和相应的几率；（10分）g(r)仅是径向坐标r的函数。1）求角动量平方L?的可能测量值和平均值。2）求角动量的z分量L（10分） z三、S代表电子的自旋算符，n?(sin?cos?,sin?sin?,cos?)为从原点指向单位球面上
(?,?)方向上的单位向量，其中?是纬度，?是经度。
1) 在(S2,Sz)表象下求自旋S在n方向上的投影Sn?n?S的本征值和相应的本征波函
数。（10分）
2) 假定电子处于Sn的某个本征态，那么测量Sz会得到哪些数值，相应的几率是多少，