2011年硕士研究生入学考试试题
科目代码及名称： 619 量子力学A 适用专业：理论物理 凝聚态物理
（请考生在答题纸上答题，在此试题纸上答题无效） 1.（20分）简述题： （1） 简述波函数?(x,y,z,t)的统计解释； （2） 简述量子态叠加原理。 2．（30分）一维无限深势阱 U(x)?? (x?0或x?a)??， (0?x?a)?0，?2n?xsin (x?0或x?a)? 中运动的粒子的能量本征函数为?n??a，相应的能量本征值为a?0 (0?x?a)??2?2n2En?(n?1, 2, ? )。若粒子初始状态的波函数为 2?a2?(x)?Acos平均值。 ?xasin2?x，求：（1）归一化常数A; （2）粒子能量的可能取值；（3）粒子能量的a??2?2?2?2l?lx?ly?lz，以及角动量各分量间 3. （30分）已知角动量算符关系式 ??i?l?,?,?,???x,y,z?，其中Levi-Civita符号 的对易关系 [l,l]????????????在下标为xyz时等于1，即?xyz?1，当任何两个相邻下标交换位置时 改变正负号，例如：?xyz???xzy，有两个下标相同时为0， 第 1 页，共 3 页
例如：?xxz???0。请证明：[l2,l??]?0,??x,y,z。 1??????H???aa?4. （30分）一维线性谐振子的哈密顿算符可表示为??, 2??1?1??????? 其本征方程为Hn????aa??n????n??n,其中产生 2?2????满足以下关系式： ??与消灭算符a 算符a?,a??]?1,a?n?nn?1,a??n?n?1n?1 [a且与坐标算符及动量算符之间满足如下关系： 1??a???。 a?i2能量本征态之间满足正交归一性关系nn???nn?。 ?? x??p请计算以下算符矩阵元： 1??a???,a?2?n?;nH?n?;nx?2n?. nx5. （20分）若函数 展开式： f?x?存在任意阶导数，则相应的算符函数可有以下泰勒 f(A)??n?0?f(n)(0)nAn! ?10?????0?1?，?? 其中上标(n)表示n阶导数。已知??zcosx???1?nx2n,??2n?! n?0?n2n?1?1??sinx??x,x? 2n?1!??n?0???,??。请证明： ei??z?cos??i?zsin??????为常数?， 求 ???i?l6. （20分）角动量z分量算符为z 示：体系的状态在绕z轴旋转
?lz的本征态和本征值（提 2?后保持不变）。