弹塑性大变形有限元方法
胡平
§ 大变形弹塑性本构方程
最简单的材料大变形弹塑性本构方程是不考虑加载历史的形变理论的全量本构方程。这类本构方程基于加载历史是比例加载的基本假定。对于许多金属冲压成形问题，比例加载的基本假定是近似正确的，因此，基于这类理论的所谓one step inverse algorithm，由于其高效高速的计算效率，近年来被广泛应用于汽车概念设计阶段的冲压工艺性快速校核。关于全量理论的One-step inverse algorithm的理论知识将另行介绍（参见理论手册）。
然而，更精细和准确的成形问题数值分析应该是能够考虑加载历史的增量本构理论。为了反映与加载历史的相关性，大变形弹塑性问题需要采用速率型(增量型)的本构方程。
首先，需要在大变形条件下，按照符合客观性的要求，建立增量型本构方程。由(7.26)式可知，变形率张量[d]是客观张量，但由(7.36)式可知
??不是客观张量，所以若用变形率张量和Cauchy应力张量的物质导数??Cauchy应力张量来建立本构方程，则将不满足本构方程的客观性条件(7.42)式。为此，需要另外定义Cauchy应力张量的导数。
1．Cauchy应力张量的Jaumann导数（率）
而Cauchy应力的Jaumann导数定义为
s推导后得到
?tj1轾ⅱ=lim犏sijt+dt)-sij(t)(臌dt?0dt (1)
?ij??ik?kj??kj?ki （2） ???其矩阵形式为
?ij2. 第一Piola应力（名义应力）张量的本构导数
?ij?t????i?tl k j i k j?lij?k?k（3）
用Cauchy应力Jaumann导数表示的第一Piola应力的本构导数为
??ij?t???ijt??ikdkj??kjdki??ikljk??ijlkk （4）
其矩阵形式为
TT??[t(t)]?[?]?????d???d?????????l?????tr?l? （5）
3. 第二Piola应力张量的本构导数
仿照第一Piola应力本构导数的推导，有
??i?Tlk?j?ik l ??? ij?tj?lij?k?k二Piola应力的本构导数为
ik j（k6）
把（7.179）式代入（7.182）式，便得用Cauchy应力Jaumann导数表示的第
?Tt??ij??ij??ikdkj??kjdki??ijlkk
? （7）
其矩阵形式为
T??[T(t)]?[?]?????d???d????????tr?l?
（8）
4. 大变形弹塑形本构方程
三维大变形弹塑形问题属于大变形问题。对于大应变问题，
Prandtl?Reuss流动理论关于应变增量等于弹性与塑性应变增量之和的假定一般是不成立的。但对于金属材料的大应变问题，弹性应变比塑性应变小得多，所以仍然可以近似的用Prandtl?Reuss增量流动理论。 大变形弹塑性加——卸载准则与小变形弹塑性加——卸载准则在形式上相同，只要把其中的应力认为是Cauchy应力即可。大变形弹塑形速率型（或增量型）本构方程也与小变形弹塑性增量本构方程在形式上类似，只要把其中的应力和应变分别改用Cauchy应力的Jaumann导数和变形率，
应力偏量和等效应力分别改用Cauchy应力偏量和等效的Cauchy应力便可。 本构方程的张量分量形式为
?ep??D ijijkldkl
（9）
若令
?????????11?????????????????
T?22?33?12?23?T31（10） （11）
?d???d11??d22??d33??2d12??2d23??2d31?
则对各向同性材料有矩阵形式，即
?? ?????Dep???d?
（12）
考虑到弹性变形微小，塑性变形时体积不变，（由（4）式便得
ep?tt?D?? ijijkldkl??ikdkj??kjdki??ikljk
（13）
ep?Tt?D ij??ijkldkl??ikdkj??kjdki
（14）
大变形弹塑性静力隐式和静力显式有限元法
对于弹塑性大变形有限元而言，也象非线性弹性大变形问题一样，可以有TL和UL两种算法。这取决于本构方程用何种应力应变去描述。一般而言，能够用第二Poila应力和Green应变表示的本构方程，可以用TL或UL算法建立有限元方程。
1. 第一种作法（静力隐式UL列式理论基础）
（1） 增量形式本构方程
把（8）式和（12）式联立可得
Tij?t??D?e?pi?jpqEpq?t???ikEkj?t???kjEki?t?
???（15）
由于其中Die??jppq和?ij与时间t无关，所以在上式两端乘以dt，并写成有限增量形式为
?Tij?Di?je?ppq?Epq??ik?Ekj??kj?Eki
（16）
若把上式展开，并考虑到?ij、?Eij的对称性和材料的各向同性，则可写成矩阵形式，即
??T????Dep?????d???E? 其中
?? （17）
??d???2?11????0???????0???????????????12????????????????????????????????????????????????????????0?????????????????????????????????????????????????0??12???????0???????0??????2?33??????????0??????????????????????23????????????????31???111 ?????????????0?????????????????????????????????? （18） ?12121122?3123??222??111??????????????????23????????????31??????????22??33?????????12???222??111???31?????0???????31????????????23????????????????12?????????11??33???222? (2) 单元增量刚度方程
由于t??t时刻的单元应变和单元应力为
?E????E?
（19） （20）
?T????????T? 所以把上述各式式虚功方程，有
T??E??????????Dep?????e??dv?d???E???TT
????u??eT??f??????u??p?dv?????u??p?daeea? （21）
于是仿照几何非线性三维大变形有限元法的U.L法，便得单元增量刚度方程，即
??k???k???k????u???f???q???r?
eeeeeee0?l（22）
其中小位移弹塑性刚度矩阵
k0初应力刚度矩阵
??e???BL???Dep???BL?dv
eT （23）