(n-1)
?tn?1(n?1) 2?tn(n) (n?1) 2(n+1)
t??tn?1t?12?tn?1tt?12?tnt??tn设：
t??tn?1：n-1状态；
图7-7.6 离散的时间点
：n?1状态； t?12?tn?12：n?1状态； t?12?tn2t??tn：n+1状态。
再设：???tn，并将（7.237）式 ?tn?1man?cvn?kxn?Pn
中的速度vn和加速度an分别用差分格式改写为：
vn??1??vn?121?vn?1 （7.247）
21??2an?(vn?1?vn?1) （7.248）
22(1??)?tn?1t??tn（n+1状态）时刻的总位移可以累加得到
xn?1?xn?vn?1?tn （7.249）
2将（7.247）、（8.248）两式带入（7.237）式，并令c???m（比例阻尼）得
2m?1(vn?1?vn?1)??m(vn?1?vn?1)?Pn?kxn
2222(1??)?tn?11??1?? （7.250）
由上式解出：
vn?1?22???tn?1(1??)?tn?1vn?1??(Pn?kxn) （7.251） 22????tn?1(2????tn?1)m对于多自由度系统，只要将（7.247）~（7.251）式中的v, a, x, m, k, P分别用矢量或矩阵表示，即
?v?n?a?n??1???v?n?121?v?n?1? （7.252） 21??2?(?v?n?1??v?n?1) （7.253） 22(1??)?tn?112?x?n?1??x?n??v?n??tn （7.254）
??P?n??k??x?n2?m??1?v?n?12??v?n?12)(?v?n?1??v?n?1)???m?(22(1??)?tn?11??1??
（7.255）
如果[m]可以写成对角矩阵，则上式又可以写成分量的形式，从而得到速度
的显式表达格式，
ivn??122???tn?1i(1??)?tn?1iivn?1??(P?kxnn) （7.256） i2????tn?12(2????tn?1)m其中，i表示第i个自由度。
为了保证系统计算的稳定性，中心差分法对允许使用的时间步长有一个限制（参见振动分析的数值方法），即，
?t??tcr （7.257）
式中，?tcr表示离散系统的临界时间步长。对于单自由度系统而言，临界时间步长按下式计算
?tcr?2m?0?2k （7.258）
对于多自由度系统，临界时间步长取决于系统的最高频率分量，即
?tcr?2?m （7.259）
其中，?m表示系统的最高频率分量。
3. 动力显式算法
(1) 动力显式有限元方程
o x ?yx?xyy ?y ???x,u?x Px,u??xdx?x??x ??x???y,u?yPy,u ?xy???xy?x dx
?yx???yx?y
dy?y???y?ydy取出一个微小的正平行六面体，它在x和y方向的尺寸分别为dx,dy,它在z方向的尺寸取单位长度。在x轴方向，有
??yx??x??x?cu?x)?dxdy?1?0(?x?dx)dy?1??xdy?1?(?yx?dy)dx?1??yxdx?1?(Px??u?x?y等式两端同除以dxdy得
??x??yx??x?cu?x?0 ??Px??u?x?y同理，沿y轴方向有，
??y?y???xy?x??y?cu?y?0 ?Py??u采用动力显式算法，综合上面两个方程，得板料的运动学微分方程为，
??ij?xj??i?cu?i?0 (7.260) ?pi??u?i和u??i分别是材料内任一点的式中，?是材料的质量密度，c是阻尼系数，u速度和加速度，pi是作用在该点上的体积力，?ij是该点处的Cauchy应力。
根据散度定理
ò?sij?xj=&duidV&qdudG-蝌iiGV&sijdeijdV
以及边界条件，由(7.260)式，可以得到系统的虚功方程为
&&&rududV+蝌iiVV&&cuiduidV+&dV=sde蝌ijijVV&piduidV+&dG qduiiG (7.261)
?ij是对应于Cauchy应力?ij的虚应变速率。 ?i是虚速度，??式中，?u把物体离散成m个单元，对于任一单元，有?个结点，取其形函数为
?i和加速度分量u??i分别为 N?，单元内任意点的位移分量ui、速度分量u?ui?N?ui??????iu?Nu?i (7.262) ?u??????i?Nu?i由几何方程可得
??ij?B???uji (7.263)
?i?和u??i?分别为结点?的位移分量、速度分量和加速度分式中，ui、u量，Bj为第五章给出的应变张量（具体求解时，采用线性化处理，可以按照小变形的应变矩阵考虑，但要进行构形更新）。
将(7.262)式和(7.263)式代入(7.261)式，可得：
??????????????NuN?udV?cNuN?uiiiidV??Ve??Ve?Ve?????? ???pN?udV?qN?ud???B?udViiiiijji????eVe? (7.264)
?i?是结点?的虚速度，上式还可以写成 式中?u??????????NNdVu?cNNdVuii??VeVe?Ve???pNdV?qNd???Biiij???jdV?eVe? (7.265)
写成矩阵形式为
TT????NNdVu?cN??NdVuVeVe??NTpdV??NTqd???BT?dVVe?eVe? (7.266)
将单元方程集合，即得整体有限元方程