?k?????G?????G???BL???d??BL?dv
ee?TT?（24）
大位移弹塑性刚度矩阵
?kl?e??B?T?D??????B*???B*?T?D??????B??LddL?ep??N??N??ep???dv???? （25） *T*e??B??D????B?????N??ep??d??N????????初应力节点力
?r????BL????dv （26）
eeT
2. 第二种作法（静力显式有限元理论基础）
（1）持续平衡方程
把虚功率方程（5.233）式用于t时刻和??t?dt时刻两个充分临近的构形，有
??vj?tI????P?v????dj?Iid???XI???AT??vj????????tI?j?d?tI??d?????j???XI????PvIidA?PId?P?I?v?di???IP?
?dIPivdAAT上两式相减后可得
??vjdtIj?????XI???d???dPI?vid???dPI?vidA ??AT若把其中的dtIj、dPI和dPI表示成物质导数，则得持续平衡方程，即
??vjtij?????XI??????d???pI?vid???pI?vidA ??AT（2）单元持续平衡方程
由于把t时刻构形作为参考构形，仿照（7.175）式的推导，??t时，有
?vj?XI?lji，pI????pi?t?，pI????pi?t?，所以把上面持续平衡方程
??k?????用于单元e，并考虑t时刻单元节点力的时间变化率fi?t??k?1,2,...,8?，可得单元持续平衡方程，即
?t??t??lijedvji
??i?1a??k??t??v?k??pfii??i?t??vidv?ea?? ?pi?t??vida（27）
再把（4）式代入上式，并考虑到体积不变，略去含lkk的项，便得
???j?kli??lidvik?k?jdkkjk??ij??deji
??fik?1a??k??t??vi?k???pi?vdv??p?iiivdaea??? （28）
由于
????? ijji,?ij??ji,dij?dji
适当更换哑标，有
??lji???dij ?ij?ij
（29） （30）
??ikdkj??kjdki??lji??ij??dikdkj?
1 ?ikljk?lji?2?ij??lkjlki?
于是，把上述各式代入（28）式，便得
????1??2d?ij?dij??ijikdkj?lkjlki?e??2??dv
8??f??k??k?i?vi??pi?vidv?v idak?1ea?p??（3）单元变形率与速度梯度
若以节点速度为基本未知量，并令
?v?e??v?1???v?1???v?1??????v?8??8??8?T?1231??v2??v3?? ?l???lT11??l12??l13??l21??l22??l23??l31??l32??l33?
单元变形率和单元速度梯度为
?d???BeL??v?
?l???Bev??v?
其中
?Bv???Lv??N?
??????T????????0??????0??????0????????0??????0?????????x1?x0?2?x3?L???????0??????0??????0??????????????????0??????0??????0?v??x? 1?x2?x3????0??????0??????0???????0??????0??????0??????????????x??1?x??2?x?3??而?BL?与线性弹性有限元法一样。
（31）
（32）
（33） （34）
（35） （36）
（37）
（38）
（4）单元应力本构导数 单元应力本构导数为
?e
??????Dep???BL??v?
（5）单元速率刚度方程
由于
???ij?d?T??ijdv????d??dvee??????????????????????v?e?T????BT?e L??e?Dep???BL?dv???v????Tij??dikdki?dv?d??d?dve???d???e??????????????????????????????v?e?T??T?e ???BL???d??BL?dv???v?e 12??ij??lTkjlki?dv???l???v??l?dve?e???????????????????????????????v?e?T????BT?e v???v??Bv?dv??v??e?其中
????
??????0????0????v?????0????????0???
0????0?? ???????（39）
（40） （41）
（42） （43）
??11???12???31?????????????? ?122223? ???31???23???33??????f?v???v? ?iikkk?1w?
e （44）
?eT??f?
?T（45）
??f?e??????1???1???1?88?????8????f1??f2??f3?????f1??f2??f3? ?? （46）
?p?vdv????v????N??eTiiee?T???Tpdv ????p?da ??（47）
a??p?vda????v????N?eTiia? （48）
各式代入（40）式，并考虑到??v?即
?eT?的任意性，便得单元速率刚度方程，
??k???k???v?ee0e??f?????e?T???p??p?
??e?e （49）
其中
?k0?ee???BL???Dep???BL?dv
eTT （50）
?k?????Bv???v??Bv???BL???d??BL?dv
e?? （51）
（52）
???ep???N?eT???pdv
???Tp?N???????a?????p?da ?? （53）