（6）总体速率刚度方程
仿照线性弹性有限元法，可由单元速率刚度方程组集成总体速率刚度方程，即
??K???K????V??0???p
（54）
其中
?V????v??v??v??...??v111213me?1n1??v??v??en2nT3 （55） （56） （57） （58）
?K0????A?m??e?1?eT?kn??A?
eee ?K?????A?????k??A?
eT?
p?F?Q Q???A?e?1??????????m??eT??e???e??p??p?? ???????? （59）
由于刚度矩阵?K0?、?K??与时间t无关，所以求解时可把（54）式写成以节点位移增量为基本未知量的增量形式，即
??K0???K?????U????P?
（60）
显然，需用增量法求解，而把第i-1增量步所得??v?和??d?作为第i增量步的初应力，按（7.236）式求得该增量步的节点位移增量??U?，把i-1步所得单元形状作为计算单元刚度矩阵和单元体、面力节点载荷增量的体积和面积。这样求解，就是把第i增量步起始时刻（t时刻）的构形作为参考构形，把第i增量步终了时刻?t??t时刻?的构形作为现时构形。所以，看起来
似乎用的是Lagrange描述方法，只不过是逐步修改的Lagrange方法，即U.L法。
大变形弹塑性动力显式有限元法
动力显式有限元算法的理论基础是连续介质振动理论中的动力学方程和中心差分格式算法。首先，我们先简单地回顾一下最基本的单自由度动力学方程及其解法。
k m
1 单自由度系统
对于只有一个自由度的线性弹簧系统，如图7-7.1所示，该系统的平衡方程为：
c P, x, v, a
图 7－7.1 线性弹簧系统
man?cvn?kxn?Pn (7.237)
其中，n代表时间增量步的第n瞬时。
(1)．无阻尼系统的自由振动
如果(7.237)式中的阻尼系数等于零，而且右端载荷项也为零，则(7.237)式可以写成无阻尼的自由振动方程，
man?kxn?0 (7.238)
2令??k m方程(7.238)改写为
??n??2xn?0 (7.239) x其解为
xn?A1cos?t?A2sin?t (7.240)
式中，A1和A2为待定常数，由系统的初始条件确定。设t=0时，
??x?0，x?x0,x则由(7.240)式得A1?x0,A2?为相角形式的简谐函数，
x0? 式(7.240)还可以变换
xn?Acos(?t??) (7.241)
A2式中，A?A?A,??arctg
A12122简谐函数的性质可用图(7-7.2)来表示。
图7-7.2 简谐振荡
(2)．有阻尼系统的自由振动
如果(7.237)式中仅右端载荷项为零，则(7.237)式可以写成有阻尼的自由振动方程，
man?cvn?kxn?0 引入临界阻尼系数Cc，
Cc?2mk?2m? (1) 欠阻尼（C x???tn?Aecos(1??2?t??) (2) 临界阻尼（C=Cc）（图7-7.4） 方程（7.242）的解为 xn?(x0?(x?0??x0)t)e???t (3) 过阻尼（C>Cc）（图7-7.5） 方程（7.242）的解为 x1tn?A1es?A2t2es 其中，Ax?0?(???2?1)?x0?x0?(???2?1)?x01?2??2?1,A2??2??2?1S1,2?(????2?1)? (7.242) (7.243) (7.244) (7.245) (7.246) 图7-7.3 欠阻尼情况 图7-7.4 临界阻尼情况 ] 图7-7.5 过阻尼情况 2、动力学平衡方程的中心差分求解格式 为了求解动力平衡方程（7.237）， man?cvn?kxn?Pn 将时间历程分成无数个离散的时间点，每两个时间点之间称为时间步长，这样，通过中心差分法就可以计算出每个时间点处的位移、速度、加速度、应力、应变…等物理量。 中心差分方法的具体推导过程如下（见图8.6）： 设t时刻的状态为n，t及t时刻之前的物理量已知，定义：