一元二次方程的公共根与整数根
中考要求
内容 一元二次方程 基本要求 了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义
略高要求 较高要求 能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值 一元二次方程的解法 理解配方法，会用直接开因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据 能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题 平方法、配方法、公式法、的根的判别式判别方程根的情况 知识点睛
一、公共根问题
二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的
值和公共根．
二、整数根问题
对于一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的实根情况，可以用判别式??b2?4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．
方程有整数根的条件：
如果一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)有整数根，那么必然同时满足以下条件：
⑴ ??b2?4ac为完全平方数；
⑵ ?b?b2?4ac?2ak或?b?b2?4ac?2ak，其中k为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可．
另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a、b、c均为有理数)
三、方程根的取值范围问题
先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围．
例题精讲
一、一元二次方程的公共根
【例1】 求k的值，使得一元二次方程x2?kx?1?0，x2?x?(k?2)?0有相同的根，并求两个方程的根．
【考点】一元二次方程的公共根 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】
【解析】不妨设a是这两个方程相同的根，由方程根的定义有
a2?ka?1?0 ……①， a2?a?(k?2)?……0②．
①?②有，ka?1?a?(k?2)?0，即 (k?1)(a?1)?0，∴k?1，或a?1． 当k?1时，两个方程都变为x2?x?1?0，
1?5∴两个方程有两个相同的根x1,2?，没有相异的根；
2当a?1时，代入①或②都有k?0，此时两个方程变为x2?1?0，x2?x?2?0．
解这两个方程，x2?1?0的根为x1?1，x2??1；x2?x?2?0的根为x1?1，x2??2． x?1为两个方程的相同的根．
1?5【答案】当k?1时，x1,2?；当x?1时，x?1
2
【巩固】三个二次方程ax2?bx?c?0，bx2?cx?a?0，cx2?ax?b?0有公共根．
⑴ 求证：a?b?c?0；
a3?b3?c3⑵ 求的值．
abc【考点】一元二次方程的公共根 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】配方思想
【解析】⑴ 设上述三个方程的公共根为x0，则有
ax02?bx0?c?0，bx02?cx0?a?0，cx02?ax0?b?0
三式相加并提取公因式可得，(a?b?c)(x02?x0?1)?0
13b又x02?x0?1?(x0?)2??0，故a?b?c?0，公共根为x0?1或x0??1?．
24a⑵ 由a3?b3?c3?3abc?(a?b?c)(a2?b2?c2?ab?bc?ca)及a?b?c?0可知
a3?b3?c3a?b?c?3abc，故?3．
abc【答案】⑴见解析 ⑵3
【例2】 试求满足方程x2?kx?7?0与x2?6x?(k?1)?0有公共根的所有的k值及所有公共根和所有相异
根．
【考点】一元二次方程的公共根 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】分类讨论
【解析】不妨设两个方程的公共根为x0，则有x02?kx0?7?0，x02?6x0?(k?1)?0 两式相减可得，(6?k)x0?(k?1)?7?0，即(6?k)(x0?1)?0
333 若k?6，则x0?1为两个方程的公共根，此时k??6，x2?6x?7?0，x2?6x?5?0，相异根为-7
和5．
若k?6，则两个方程均为x2?6x?7?0，此时有公共根7和-1，无相异实根．
【答案】当k??6时，两个方程的公共根为1，相异根为-7和5；当k?6时，两个方程的公共根为7和-1，无
相异实根
【巩固】二次项系数不相等的两个二次方程(a?1)x2?(a2?2)x?(a2?2a)?0和
ab?ba的值． (b?1)x?(b?2)x?(b?2b)?0(其中a，b为正整数)有一个公共根，求?b?aa?b【考点】一元二次方程的公共根 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】
a?2【解析】(a?1)x2?(a2?2)x?(a2?2a)?0?(x?a)?(a?1)x?(a?2)??0，故两根为a和
a?1b?2 同理，(b?1)x2?(b2?2)x?(b2?2b)?0的两根为b和．
b?1b?2a?2 由题意可知，a?1?b?1?a?b，故a?或?b．
b?1a?1 均可化简为：ab?a?b?2?0，即(a?1)(b?1)?3
222?a?1?1?a?1?3?a?2?a?4 由a，b为正整数，故?或?，解得?，?．
?b?1?3?b?1?1?b?4?b?2 也可采取与例题相同的解法：
设公共根为x0，
则(a?1)x02?(a2?2)x0?(a2?2a)?0，(b?1)x02?(b2?2)x0?(b2?2b)?0
消去x02项并因式分解可得，(a?b)(ab?a?b?2)(x0?1)?0(由已知可得a?b) 若x0?1，则有a?1(或b?1)，与已知矛盾； 若ab?a?b?2?0，解法同上．
ab?ba 故?b?abba?256． ?aa?b【答案】256
二、一元二次方程的整数根
【例3】 已知关于x的方程x2?(a?6)x?a?0的两根都是整数，求a的值． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】6星 【题型】解答 【关键词】
【解析】设两个根为x1≥x2，由韦达定理得
?x1?x2?6?a． ?xx?a?12?x1?1?7?x1?1??1从上面两式中消去a得x1x2?x1?x2?6?(x1?1)(x2?1)?7??或?
x?1?1x?1??7?2?2?x1?6?x1??2即?或?．
x??8x?0?2?2所以a?x1x2?0或16．
点评：利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于x1，x2的不定方程，而求解这个对称的不定
方程往往是容易入手的．
【答案】0或16
【巩固】当m为何整数时，方程2x2?5mx?2m2?5有整数解． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】
【解析】方法一：
将方程2x2?5mx?2m2?5左边因式分解可得
(2x?m)(x?2m)?5
?2x?m?5?2x?m?1?2x?m??5?2x?m??1 故?，或?，或?，或?
?x?2m?1?x?2m?5?x?2m??1?x?2m??5?x?3?x??1?x??3?x?1 解得?，?，?，?
m?1m??3m??1m?3???? 方法二：
将方程2x2?5mx?2m2?5整理成标准形式：2x2?5mx?2m2?5?0
由原方程有整数解，首先必须满足??(5m)2?4?2?(2m2?5)?9m2?40为一个完全平方数，不妨
设??n2(n?0)，则有9m2?40?n2?(n?3m)(n?3m)?40，又n?3m、n?3m的奇偶性相同， ?n?3m?2?n?3m?20?n?3m??2?n?3m??20?n?3m?4故它们必然同为偶数，则有?，，，，，????n?3m?20n?3m?2n?3m??20n?3m??2n?3m?10??????n?3m?10?n?3m??10?n?3m??4，?，? ?n?3m?4n?3m??4n?3m??10????m?3?m??3?m?1?m??1解得?，?，?，?
?n?11?n?11?n?7?n?75m??5m?n?代入中检验可知，均满足题意，故m??1或m??3
2?22?2注意，题中要求有整数解即可，没要求所有的根都是整数，要注意区分这一点．
点评：方法二看似复杂，但却是一元二次方程的整数根问题的通用解法，“希望杯”等考试中也常考到这种方法，值得引起注意．方法一看似简单，但使用起来有较多的局限性，如果无法进行因式分解，或者所分解的整数的因数过多，使用起来将很复杂． ?x?3?x??1?x??3?x?1【答案】?，?，?，?
m?1m??3m??1m?3????
【例4】 求所有正实数a，使得方程x2?ax?4a?0仅有整数根． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】5星 【题型】解答
【关键词】1998年，全国竞赛题
【解析】设方程的两整数根分别是x1，x2，且x1?x2
由根与系数的关系得
x1?x2?a?0?① x1?x2?4a?0?②
a由①得?x2?a ③
2将③代入②得4a?x1x2?x1a
a4a?x1x2?x1?
2∴4?x1?8
显然 x1≠4，故x1可取5，6，7，8． 从而易得a?25，18，16．
【答案】a?25，18，16
【巩固】方程(x?a)(x?8)?1?0有两个整数根，求a的值． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】5星 【题型】解答
【关键词】1996年，全国联赛
【解析】原方程变为(x?8)2?(8?a)(x?8)?1?0
设y?x?8，则得新方程为 y2?(8?a)y?1?0 设它的两根为y1、y2，则 y1?y2?a?8,y1?y2??1
∵x是整数，∴y1、y2也是整数，则y1、y2只能分别为1，-1或-1，1 即y1?y2?0 ∴a?8
【答案】8
【巩固】已知关于x的方程(a?1)x2?2x?a?1?0的根都是整数，那么符合条件的整数a有___________个． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】5星 【题型】填空
【关键词】2000年，全国竞赛题 【解析】当a?1时，x?1，
当a?1时，原方程左边因式分解，得(x?1)?(a?1)x?(a?1)??0，
即得x1?1,x2??1?2 1?a ∵x是整数
∴1?a??1，?2，
∴a??1，0，2，3
由上可知符合条件的整数有5个． 【答案】5
【例5】 设方程mx2?(m?2)x?(m?3)?0有整数解，试确定整数m的值，并求出这时方程所有的整数解． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】分类讨论
【解析】若m?0，则2x?3?0，此时方程无整数解；
若m?0，∵方程有整数根，则??(m?2)2?4m(m?3)≥0，
即3m2?8m?4≤0，3m2?8m?4=0的两根为x1?4?274?27，x2?． 33?4?274?274?27??4?27?≤m≤故3?，解得． m?m?≤0???????3333????∴m只能取1，2，3．
当m?1时，方程有整数解2和?1； 当m?2时，方程无整数解； 当m?3时，方程有整数解0．
【答案】当m?1时，方程有整数解2和?1；
当m?2时，方程无整数解； 当m?3时，方程有整数解0．
【例6】 已知k为常数，关于x的一元二次方程(k2?2k)x2?(4?6k)x?8?0的解都是整数，求k的值． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】6星