更一般地，如果一元n次方程anxn?an?1xn?1?…?a1x?a0?0的根是x1，x2，…，xn，那么：
an?1?x?x?…?x??，2n?1an??an?2，?x1x2?x1x3…?xn?1xn?an??an?3?， ?x1x2x3?x1x2x4…?xn?2xn?1xn??an??…………??na0xx…x?(?1)12n?an???以上定理确定了根与系数的关系，法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理． ?a?3?a?3?a??3?a??3?a??1?a??2?a?1?a?2【答案】?，?，?，?，?，?，?，?
b??2b?1b?2b??3b??3b??1b?3b?3????????
【例16】 已知a,b是实数，关于x,y的方程组
?y?x3?ax2?bx有整数解(x,y)，求a,b满足的关系式． ??y?ax?b【考点】一元二次方程的整数根 【难度】5星 【题型】解答
【关键词】2004年，“信利杯”全国初中数学竞赛
【解析】y?x3?ax2?bx?x3?x(ax?b)?x3?xy?y(x?1)?x3
?y??1?a?b若x?1?0，则?，显然无解，故x??1，则有
y??a?b?3x1 y??x2?x?1?x?1x?1由x,y均为整数可知，x?1??1?x?0，或x??2． 从而可得，2a?b?8?0或b?0(a为任意实数)．
【答案】2a?b?8?0或b?0(a为任意实数)
?x?y?(a?2)x【巩固】已知a为整数，关于x,y的方程组?的所有解均为整数解，求a的值． 23?xy?(a?1)x?2a?2【考点】一元二次方程的整数根 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】
?x?y?(a?2)x【解析】??(a?1)x2?(a2?1)x?2a3?2?0 23?xy?(a?1)x?2a?2若a?1?0?a??1，则x??2，y?0，满足题意； 若a?1?0?a??1，则由韦达定理可得
2(a3?1)2(a3?1?2)4a2?12??2(a2?a?1)?，x1x2? x1?x2??a?1?a?1a?1a?1a?1a?12由此可知，为整数，故a?1??1，或a?1??2，解之得a??3,?2,0,1
a?1
当a??3时，?2x2?10x?56?0，方程无整数解； 当a??2时，?x2?5x?18?0，方程无整数解；
当a?0时，x2?x?2?0，此时x1?2，x2??1，对应的y1?2，y2??1；
当a?1时，2x2?2x?0，此时x1?0，x2?1，对应的y1?0，y2?2．
【答案】a?0或a?1
【巩固】设a为质数，b，c为正整数，且满足
2??9?2a?2b?c??509?4a?1022b?511c? ???b?c?2【考点】一元二次方程的整数根 【难度】6星 【题型】解答
【关键词】2008年， 全国初中数学联赛
2求a?b?c?的值．
4a?511b?6a?3b??【解析】①式即?， ?509?509?6a?3b4a?511b设m?，n?，
509509509m?6a509n?4a则b? ② ?3511故3n?511m?6a?0，又n?m2， 所以3m2?511m?6a?0 ③
2由①式可知，?2a?b?能被509整除，而509是质数，于是2a?b能被509整除，故m为整数，即关
于m的一元二次方程③有整数根，所以它的判别式??5112?72a为完全平方数． 不妨设??5112?72a?t2(t为自然数)，则72a?5112?t2??511?t??511?t?． 由于511?t和511?t的奇偶性相同，且511?t≥511，所以只可能有以下几种情况： ?511?t?36a，①?两式相加，
511?t?2，?得36a?2?1022，没有整数解． ?511?t?18a，②?两式相加，
511?t?4，?得18a?4?1022，没有整数解． ?511?t?12a，③?两式相加，
511?t?6，?得12a?6?1022，没有整数解． ?511?t?6a，④?两式相加，
511?t?12，?得6a?12?1022，没有整数解． ?511?t?4a，⑤?两式相加，
511?t?18，?得4a?18?1022，解得a?251． ?511?t?2a，⑥?两式相加，
511?t?36，?得2a?36?1022，解得a?493， 而493?17?29不是质数，故舍去． 综合可知a?251． 此时方程③的解为
502m?3或m?(舍去)．
3
把a?251，m?3代入②式，
509?3?6?251得b??7．
3a?b?c??3012
【答案】3012
【例17】 已知b，c为整数，方程5x2?bx?c?0的两根都大于?1且小于0，求b和c的值． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】6星 【题型】解答
【关键词】1999年，全国联赛试题 【解析】解法1：
bc设方程的两根为x1,x2，由韦达定理可知，x1?x2??，x1x2?，则有
55bc由?1?x1,x2?0可知，?2?x1?x2?0，0?x1x2?1，则有?2???0，0??1，
55故0?b?10，0?c?5
由题意可知，x?0时，5x2?bx?c?c?0，x??1时，5x2?bx?c?5?b?c?0?b?5?c 又b，c为整数，故0?b?9，0?c?5
又原方程有两个实数根，故??b2?20c≥0?b2≥20c≥20?b≥5 故b?5,6,7,8，c?1,2,3,4．
当b?5时，c?1，此时满足b?5?c；
当b?6时，62?20c≥0?c?1，但此时由b?5?c知，c?1，矛盾； 当b?7时，72?20c≥0?c?1,2，又b?5?c，故c?2，矛盾；
当b?8时，82?20c≥0?c?1,2,3，又b?5?c，故c?3，矛盾． 综上，b?5，c?1．
另外，也可由?1?x1,x2?0建立不等式，(x1?1)(x2?1)?0?x1?x2?x1x2?1?0?b?5?c! 点评：b?5?c这个隐含的结论非常重要，如果没有考虑到这一点，将会多出很多解． 解法2：
设f(x)?5x2?bx?c，则有
??f(?1)?5?b?c?0??b?5?c????20c≤b2≤(4?c)2?c≥6?25或c≤6?25 ?f(0)?c?02?20c≤b?24?5c?b?≤0??4?5c由韦达定理可知，0??1?0?c?5，故0?c≤6?25，故c?1，b?5．
5这个解题的技巧，能够避免复杂的讨论和多余的解，是一种非常好的方法！
【答案】b?5，c?1
??0．?，且x1x2?0，x1?x2【巩固】已知方程x2?bx?c?0及x2?cx?b?0分别各有两个整数根x1,x2及x1?,x2
??0； ⑴ 求证：x1?0，x2?0，x1??0，x2⑵ 求证：b?1≤c≤b?1；
⑶ 求b,c所有可能的值．
【考点】一元二次方程的整数根 【难度】6星 【题型】解答
【关键词】1993年，全国数学联赛试题
?x1?x2??b??x1??x2???c【解析】⑴ 由韦达定理可知，?，?
xx?c?12??x1?x2??b??0可知，b?0，c?0，故x1?x2?0，x1??x2??0 由x1x2?0，x1?x2??0 从而可知，x1?0，x2?0，x1??0，x2⑵ b?1≤c≤b?1??1≤c?b≤1 ?x1?x2??b?c?b?x1x2?x1?x2 ……①， ?xx?c?12??x1??x2???c?b?c?x1??x2??x1?x2? ……② ???x1?x2??b由c?b?x1x2?x1?x2?(x1?1)(x2?1)?c?b?1≥0?c?b≥?1
b?c?x1??x2??x1?x2??b?c?1?(x1??1)(x2??1)≥0?c?b≤1 从而可知，b?1≤c≤b?1 ⑶ ①?②可得，
x1x2?x1?x2?x1??x2??x1?x2??0?(x1?1)(x2?1)?(x1??1)(x2??1)?2
由②可知，(x1?1)(x2.?1)≥0，(x1'?1)(x2'?1)≥0，又x1,x2,x1?,x2?均为整数可知
????(x1?1)(x2?1)?0?(x1?1)(x2?1)?1?(x1?1)(x2?1)?2，或?，或? ???????????(x1?1)(x2?1)?2?(x1?1)(x2?1)?1?(x1?1)(x2?1)?0?b?6?b?4?b?5此时，分别有?，?，?
c?5c?4c?6????b?6?b?4?b?5【答案】⑴见解析 ⑵见解析 ⑶?，?，?
?c?5?c?4?c?6
【例18】 当m是什么整数时，关于x的方程x2?(m?1)x?m?1?0的两根都是整数？ 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】1994年，福州竞赛题
【解析】设方程的两整数根分别是x1，x2，由韦达定理得
x1?x2?m?1?① x1?x2?m?1?②
课后作业
由②?①消去m，可得x1x2?x2?x1?2 (x1?1)(x2?1)?3?1?3??1?(?3)
?x1?1?1?x1?1??1则有? 或?
x?1?3x?1??3?2?2?x1?0?x?2解得：?1 或?
x??2x?4?2?2由此x1?x2?8或0，分别代入②，得m?7或m??1
【答案】m?7或m??1
【例19】 n为正整数，方程x2?(3?1)x?3n?6?0有一个整数根，则n?__________． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】1993年，安徽竞赛题
【解析】不妨设已知方程的整数根为α，则
a2?(3?1)a?3n?6?0 整理．得a2?a?6?3(a?n) 因为a为整数，所以a2?a?6为整数
3(a?n)也一定是整数，要使3(a?n)为整数，必有a?n
由此得a2?a?6?0，即n2?n?6?0 解得n?3或-2(舍去) ∴n?3
【答案】3
【例20】 当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx2?4x?4?0与x2?4mx?4m2?4m?5?0的根都是
整数．
【考点】一元二次方程的整数根 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】2008年，西城区，初三抽样试题
【解析】由题意可知，方程mx2?4x?4?0的判别式?1?(?4)2?16m?16(1?m)?0?m?1
方程x2?4mx?4m2?4m?5?0的判别式为
?2?(4m)2?4(4m2?4m?5)?4(4m?5)?0
5 故m??，又m为整数，m?0，故m??1或m?1
4 当m?1时，题干中的两个方程分别为x2?4x?4?0、x2?4x?5?0，满足题意； 当m??1时，题干中的两个方程分别为x2?4x?4?0、x2?4x?3?0，不合题意．
故m?1．也可通过方程是否有整数根的条件来判断出m?1，此时两个判别式都要是完全平方数． 【答案】m?1
【例21】 当m为何整数时，方程2x2?5mx?2m2?5有整数解． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】6星 【题型】解答 【关键词】
【解析】解法1：
将方程2x2?5mx?2m2?5左边因式分解可得 (2x?m)(x?2m)?5
?2x?m?5?2x?m?1?2x?m??5?2x?m??1故?，或?，或?，或?
x?2m?1x?2m?5x?2m??1x?2m??5?????x?3?x??1?x??3?x?1解得?，?，?，?
m?1m??3m??1m?3????解法2：
将方程2x2?5mx?2m2?5整理成标准形式：2x2?5mx?2m2?5?0
由原方程有整数解，首先必须满足??(5m)2?4?2?(2m2?5)?9m2?40为一个完全平方数， 不妨设??n2(n?0)，则有9m2?40?n2?(n?3m)(n?3m)?40， 又n?3m、n?3m的奇偶性相同，
?n?3m?2?n?3m?20?n?3m??2?n?3m??20故它们必然同为偶数，则有?，?，?，?，
n?3m?20n?3m?2n?3m??20n?3m??2?????n?3m?4?n?3m?10?n?3m??10?n?3m??4，?，?，? ??n?3m?10?n?3m?4?n?3m??4?n?3m??10