?m?3?m??3?m?1?m??1解得?，?，?，?
n?11n?11n?7n?7????5m??5m?n?代入中检验可知，均满足题意，故m??1或m??3．
2?22?2注意，题中要求有整数解即可，没要求所有的根都是整数，要注意区分这一点．
点评：解法2看似复杂，但却是一元二次方程的整数根问题的通用解法，“希望杯”等考试中也常考到这种方法，值得引起注意．解法1看似简单，但使用起来有较多的局限性，如果无法进行因式分解，或者所分解的整数的因数过多，使用起来将很复杂．
【答案】m??1或m??3
【例22】 已知方程x2?mx?m?1?0有两个不相等的正整数根，求m的值． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】1996年，四川竞赛题
【解析】设原方程的两个正整数根为x1，x2，则m=－(x1+x2)为负整数．
∴??m2?4m?4一定是完全平方数 设m2?4m?4?k2(k为正整数) ∴(m?2)2?k2?8
即：(m?2?k)(m?2?k)?8 ∵m+2+k≥m+2-k，且奇偶性相同 ?m?2?k?4?m?2?k??2∴?或?
m?2?k?2m?2?k??4??解得m?1?0(舍去)或m??5．
当m??5时 ，原方程为x2?5x?6?0，两根分别为x1?2，x2?3．
【答案】m??5
【例23】 已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2?2(2a?1)x?4(a?3)?0至少有一个整数根，求
a的值．
【考点】一元二次方程的整数根 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】
【解析】将原方程变形为(x?2)2a?2(x?6)
2(x?6)显然x?2?0，于是a?
(x?2)22(x?6)≥1 由于a是正整数，所以a≥1，即
(x?2)2所以x2?2x?8≤0，(x?4)(x?2)≤0， 所以?4≤x≤2(x??2)
14,1，所以a的值为1,3,6,10． 90时，点评：从解题过程中知，当a?1时，有两个整数根?4,2；当a?3,6,1方程只有一个整数根．有
时候，在关于x的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先对这个参数来求解．
【答案】1,3,6,10
【例24】 当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx2?4x?4?0与x2?4mx?4m2?4m?5?0的根都是
整数．
【考点】一元二次方程的整数根
当x??4,?3,?1,0,1,2时，得a的值为1,6,10,3,
【难度】4星 【题型】解答
【关键词】2008年，西城区， 初三抽样试题
【解析】由题意可知，方程mx2?4x?4?0的判别式?1?(?4)2?16m?16(1?m)≥0?m≤1
方程x2?4mx?4m2?4m?5?0的判别式为 ?2?(4m)2?4(4m2?4m?5)?4(4m?5)≥0
5故m≥?，又m为整数，m?0，故m??1或m?1
4当m?1时，题干中的两个方程分别为x2?4x?4?0、x2?4x?5?0，满足题意； 当m??1时，题干中的两个方程分别为x2?4x?4?0、x2?4x?3?0，不合题意．
故m?1．也可通过方程是否有整数根的条件来判断出m?1，此时两个判别式都要是完全平方数．
【答案】m?1
1【例25】 已知a，b都是正整数，试问关于x的方程x2?abx?(a?b)?0是否有两个整数解？如果有，请求
2出来；如果没有，请给出证明．
【考点】一元二次方程的整数根 【难度】6星 【题型】解答
【关键词】2007年，“数学周报”杯全国数学竞赛试题
1【解析】设方程x2?abx?(a?b)?0的两个整数根为x1,x2，则有
2?x1?x2?ab??a?b xx?12??2a?b?ab?4(x1?1)(x2?1)?(2a?1)(2b?1)?5 2由a，b都是正整数可知，x1,x2均为正整数． 不妨设a≤b，则
若(x1?1)(x2?1)?0?x1?1或x2?1，则(2a?1)(2b?1)?5?a?1,b?3 此时方程的两根为1,2．
若(x1?1)(x2?1)?1?x1?x2?2，此时(2a?1)(2b?1)?1?a?b?1 故x1x2?x1?x2?显然与x1?x2?ab?4矛盾，不合题意
若(x1?1)(x2?1)≥2，则(2a?1)(2b?1)?0，这显然与a，b都是正整数矛盾！ 故此方程的两整数根为1,2．
【答案】此方程的两整数根为1,2
【例26】 求所有的整数对(x,y)，使x3?x2y?xy2?y3?4x2?4xy?4y2?47． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】
【解析】x3?x2y?xy2?y3?4x2?4xy?4y2?47?(x2?y2)(x?y)?4(x2?y2?xy)?47
不妨设x?y?a，xy?b，则有x2?y2?(x?y)2?2xy?a2?2b，上式可变为： (a2?2b)a?4(a2?b)?47 ……①，
整理可得2(a?2)b??a3?4a2?47
若a?2，代入①式可得，4b?8?4b?63，无解，故a?2
?a3?4a2?4755故2b? ……②(多项式除法) ??a2?2a?4?a?2a?255从而可知，为整数，故a?2??1,?5,?11,?55，即a?3,1,7,?3,13,?9,57,?53
a?2
代回②式检验可知，当a?3时，b?28，此时(x,y)?(7,4),(?4,?7)； 当a?7时，b??10，此时(x,y)?(5,?2),(2,?5)；
当a?1,?3,13,?9,57,?53时，方程无实根，不合题意
综上所述，所求的所有的整数解为(x,y)?(7,4),(?4,?7),(5,?2),(2,?5)．
【答案】(x,y)?(7,4),(?4,?7),(5,?2),(2,?5)
x?y3?的所有正整数解． 【例27】 求方程227x?xy?y【考点】一元二次方程的整数根 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】
【解析】原方程可化为关于x的一元二次方程3x2?(3y?7)x?3y2?7y?0．
由于x为实数，则判别式不小于0，即????(3y?7)??4?3(3y2?7y)≥0． 21?14321?143≤y≤． 99由于y是正整数，则y只能取1,2,3,4,5．分别将y?1,2,3,4,5代入原方程，
2化简得27y2?126y?49≤0，解得?x?4?x2?5得原方程的两组正整数解为?1，?．
y?4y?5?2?1?x?4?x2?5【答案】?1，?
y?4y?5?2?1