x2?7满足条件．
综上所述，所求的质数p为3或7．
【答案】3或7
【例11】 设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2?(m?1)x?1?0有有理根，求m的值． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】
【解析】一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令
??(m?1)2?4m?n2，
其中n是非负整数，于是m2?6m?1?n2，所以(m?3)2?n2?8， 由于m?3?n≥m?3?n，并且(m?3?n)(m?3?n)?8是偶数， 所以m?3?n与m?3?n同奇偶，所以 ?m?3?n?4?m?3?n??2，或． ??m?3?n??4m?3?n?2???m?6?m?0
所以?，或?(舍去)．
?n?1?n?1
11所以m?6，这时方程的两个根为，．
23点评：一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决．
【答案】m?6
【巩固】已知方程x2?1999x?a?0有两个质数根，则常数a?________． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】1999年，江苏省，第14届竞赛题
【解析】设方程的两个质数根为x1， x2 （x1?x2）
由根与系数的关系得x1?x2?1999
显然 x1?2，x2?1997，于是a?2?1997?3994．
【答案】3994
【例12】 不解方程，证明方程x2?1997x?1997?0无整数根 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】 【解析】略
【答案】证明：假设方程有两个整数根αβ，则α+β=1997，αβ=1997，由第二式知αβ均为奇数，于是α+β为
偶数，但这与第一式相矛盾，所以α，β不可能都是整数．
假设方程只有一个整数根，则α+β不可能是整数， 也与第一式相矛盾，所以方程不可能只有一个整数根．
综上所述，原方程无整数根．
【巩固】设p、q是两个奇整数，试证方程x2?2px?2q?0不可能有有理根． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】5星
【题型】解答
【关键词】北京市数学竞赛 【解析】略
【答案】首先，方程的根不可能是奇数．事实上，若x为奇数，则x2为奇数，而2px?2q是偶数，
因此x2?2px?2q取奇数值，不可能是0．
其次，方程的根不可能是偶数．事实上，若x为偶数，则x2?2px能被4整除，而这时常数项2q被4除时余2，因此x2?2px?2q?0．
最后，方程的根不可能是分数．事实上，若x为分数，则x?p也是分数，而方程可以变为(x?p)2?p2?2q．等号右端的p2?2q是一个整数，左端是一个分数，这是一个矛盾！
综上可知，当p、q是两个奇整数时，方程x2?2px?2q?0不可能有有理根．
【巩固】试证不论n是什么整数，方程x2?16nx?7s?0没有整数解，方程中的s是任何正的奇数． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】5星 【题型】解答
【关键词】北京市数学竞赛 【解析】略
【答案】设原方程的两根为x1,x2，则有x1?x2?16n，x1x2?7s．
若原方程有一根是整数，则由x1?x2?16n可知另一根也是整数．
因为7是质数，由x1x2?7s可知x1、x2可以写成如下形式x1??7k,x2??7h， 两式同时取正号或负号，k?h?s．
将x1??7k,x2??7h代入x1?x2?16n得7k?7h??16n．
因为s为奇数，所以我们不妨设k?h，并且k?h?k?h?2h?s?2h仍为奇数，于是可得7h(7k?h?1)??16n．
当M为奇数时，由恒等式xM?1?(x?1)(xM?1?xM?2?xM?3???1)可得：
7k?h?1?8?(7k?h?1?7k?h?2?7k?h?3???1)．
上式右边括号中的每一项都是奇数，并且项数k?h也是奇数，
故其代数和为奇数，将它记为m，则由7h(7k?h?1)??16n可得7h?8m??16n，即7hm??2n． 上式左边为奇数的积，仍为奇数，而右边是偶数，显然是不可能的． 这个矛盾证明了原方程无整数解．
【例13】 设a,b,c为?ABC的三边，且二次三项式x2?2ax?b2与x2?2cx?b2有一次公因式，证明：?ABC一定是直角三角形．
【考点】一元二次方程的公共根 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】北京市，数学竞赛试题 【解析】略
【答案】因为题目中的两个二次三项式有一次公因式，
所以二次方程x2?2ax?b2?0与x2?2cx?b2?0必有公共根，设公共根为x0 ，则
x02?2ax0?b2?0 ……①， x02?2cx0?b2?0 ……②
两式相加得2x02?2(a?c)x0?0，即2x0[x0?(a?c)]?0． 若x0?0，代入①式得b?0，这与b为?ABC的边不符，
∴公共根x0??(a?c)．把x0??(a?c)代入①式得(a?c)2?2a(a?c)?b2?0， 整理得a2?b2?c2，?ABC为直角三角形．
?a?b?m?2【巩固】若一直角三角形两直角边的长，a、b(a?b)均为整数，且满足?．试求这个直角三角
ab?4m?形的三边长．
【考点】一元二次方程的整数根 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】
【解析】 因为a、b为正整数，所以，m也为正整数．
从而，a、b是关于x的方程x2?(m?2)x?4m?0的两个不等整数解．
所以??(m?2)2?16m?m2?12m?4必为完全平方数．
不妨设m2?12m?4?k2，k为正整数，即m2?12m?4?k2?0 ……① 由此知关于m的方程①应有整数解，则
???(?12)2?4(4?k2)?4(32?k2)也必为完全平方数．
于是32?k2为完全平方数．
令32?k2?(n?k)2，其中n为正整数．则32?(n?k)2?k2?n(n?2k)． 显然n?n?2k．又32?1?32?2?16?4?8，于是，分三种情况讨论： n?1时，1?2k?32，无整数解；
n?2时，2?2k?16，解得k?7，m?15，直角三角形的三边长分别为5，12，13； n?4时，4?2k?8，解得k?2，m?12，直角三角形三边长分别为6，8，10． 综上，直角三角形的三边长分别为5,12,13或6,8,10．
【答案】5,12,13或6,8,10
b为何值时，【例14】 方程 x2?bx?2?0和x2?2x?b(b?1)?0有相同的整数根？并且求出它们的整数根？
【考点】一元二次方程的整数根 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】
【解析】两式相减，整理得(2?b)x?(2?b)(1?b)，
当b?2时，x?1?b，代入第一个方程，得(1?b)2?b(1?b)?2?0 解得b?1，x?2
当b?2时，两方程无整数根．
∴b?1，相同的整数根是2 【答案】b?1，相同的整数根是2
【巩固】求所有的正整数a，b，c使得关于x的方程
x2?3ax?2b?0,x2?3bx?2c?0,x2?3cx?2a?0的所有的根都是正整数．
【考点】一元二次方程的整数根 【难度】5星 【题型】解答
【关键词】2000年，全国联赛C卷
【解析】设三个方程的正整数解分别为x1,x2,x3,x4,x5,x6，则有
x2?3ax?2b?(x?x1)(x?x2) x2?3bx?2c?(x?x3)(x?x4)
x2?3cx?2a?(x?x5)(x?x6)
令x=1，并将三式相加，注意到xi≥1(i=1，2，…6)，有
3?(a?b?c)?(1?x1)(1?x2)?(1?x3)(1?x4)?(1?x5)(1?x6)?0?0?0?0 但 a?1，b?1，c?1，又有 3?(a?b?c)?0 ∴3?(a?b?c)?0 故a?b?c?1
【答案】a?b?c?1
【例15】 已知a是正整数，如果关于x的方程x3?(a?17)x2?(38?a)x?56?0的根都是整数，求a的值及方
程的整数根．
【考点】一元二次方程的整数根 【难度】5星 【题型】解答
【关键词】2007年，全国初中数学联合竞赛
2【解析】观察易知方程有一个整数根x1?1，将方程的左边分解因式，得：(x?1)?x??(a?18)x?56???0．
因为a是正整数，所以关于x的方程：x2?(a?18)x?56?0 ……① 的判别式??(a?18)2?224?0，它一定有两个不同的实数根．
而原方程的根都是整数，所以方程①的根都是整数，
因此它的判别式??(a?18)2?224应该是一个完全平方数． 设(a?18)2?224?k2(其中k为非负整数)，
则(a?18)2?k2?224，即：(a?18?k)(a?18?k)?224．
显然a?18?k与a?18?k的奇偶性相同，且a?18?k≥18，a?18?k≥a?18?k． 而224?112?2?56?4?28?8，所以： ?a?18?k?112?a?18?k?56?a?18?k?28，或，或 ???a?18?k?2a?18?k?4a?18?k?8????a?39?a?12?a?0解得?，或?，或?．
k?55k?26k?10????a?39?a?12而a是正整数，所以只可能?，或?．
k?55k?26??当a?39时，方程①即x2?57x?56?0，它的两根分别为?1和?56．
此时原方程的三个根为1，?1和?56．
当a?12时，方程①即x2?30x?56?0，它的两根分别为?2和?28． 此时原方程的三个根为1，?2和?28．
【答案】当a?39时，原方程的三个根为1，?1和?56；当a?12时，原方程的三个根为1，?2和?28
【巩固】求方程a3b?ab3?2a2?2b2?4?0的所有整数解． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】
【解析】解法1：
将上述方程看成一个关于2的二次方程，则22?(a2?b2)?2?a3b?ab3?0
由于该方程有整数解，则??(a2?b2)2?4(a3b?ab3)?a4?b4?2a2b2?4a3b?4ab3
?a4?b4?4a2b2?4a3b?4ab3?2a2b2?(a2?b2?2ab)2(此处参考答案中没有给出，能够直接运用
公式a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca?(a?b?c)2，上述过程也可看成添项、拆项法，如下： a4?b4?2a2b2?4a3b?4ab3?a4?b4?2a2b2?4a3b?4ab3?4a2b2?(a2?b2)2?4ab(a2?b2) ?4a2b2?(a2?b2?2ab)2)
于是方程的两根分别为：x??b2?ab或x??a2?ab
2令x??b2?ab?2，则b?0，a??b?，由a,b为整数，则b??1,?2，此时a??3
b2令x??a2?ab?2，则a?0，b?a?，由a,b为整数，则a??1,?2，此时b??3．
a
?a?3?a?3?a??3?a??3?a??1?a??2?a?1?a?2故所有整数解为：?，?，?，?，?，?，?，?
b??2b?1b?2b??3b??3b??1b?3b?3????????解法2：
以下给出一种更好的解法：
a3b?ab3?2a2?2b2?4?0?ab(a2?b2)?2a2?2b2?4?0?ab(a?b)(a?b)?2(a2?b2)?4?0
于是?a(a?b)?2??b(a?b)?2??0，以下的过程同上!
可顺便讲解，ab(a?b)2?(a?b)2?1??a(a?b)?1??b(a?b)?1?的因式分解． 以及解方程6?6?x?x，6?6?x?x?6?6?x?x2?6?x2?6?x，即 (6?x2)2?6?x，展开可得62?2?6x2?x4?6?x?62?(2x2?1)?6?x4?x?0
222?x?x?6?0x?x?5?0，解得x?2 ，故或6?(x?x?1)?0?6?x(x?1)????(∵6?x2?6?x≥0，x≥0，∴0≤x≤6)也可参照例题解析中的解法(用求根公式)
当然，将(6?x2)2?6?x展开后，可得x4?12x2?x?30?0，此处介绍两种解法： 因式定理法：
观察可知，x?2是x4?12x2?x?30?0的一个因式，然后用多项式除法或者待定系数法可得，
2 x4?12x2?x?30?(x?2)(x3?2x2?8x?15)?(x?2)(x?3)(x?x?5)(∵30?2?3?5，∴可考虑?2,?3,?5是否能使原式的值为0) 拆项添项法：
x4?12x2?32?x?2?(x2?4)(x2?8)?(x?2)?(x?2)(x?3)(x2?x?5)
(x4?12x2?(x2)2?12x2可看成一个关于x2的二次式，只需找一个常数即可，?12??4?8??2?10?....，但是考虑到分解成两个关于x2的式子后要继续分解才能与后面的一次式提取公因式，因此只能是分解成?12??4?8) 此题还有一种更妙的解法，仅供参考．
令方程6?6?x?x中6?x?t(t?0)，则原方程可化为：
??6?t?x2?6?t?x????(x?t)(x?t?1)?0 ?2??6?x?t?6?x?t?从而有，x?t，或者x?t?1，可很快求出原方程的解来． 解法3：
此题中含三次项，于是又有了另一种方法，如下： 将原方程看成一个关于a(或b)三次方程，则有
ba3?2a2?b3a?2b2?4?0，由三次方程的韦达定理可知
4?2?a1?a2?a3??，a1a2?a2a3?a3a1??b2，a1a2a3???2b??
b?b?由此可知，b??1，或b??2，代回原式即可求得相应的a的值．
由原式的特征可知，a,b的地位对等，故还应考虑a??1，a??2的情况，共8组解． 此法默认方程的三个根a1,a2,a3为整数，代入求出的a可能不是整数，要注意检验！ 点评：对于一元二次方程ax2?bx?c?0，我们有熟知的结论：
b?x?x??2??1a， ?c?xx?12?a?对于一元三次方程ax3?bx2?cx?d?0， 我们依然有下面的结论：
b?x?x?x??123?a?c??x1x2?x1x3?x2x3?
a??dxxx??123?a?