【题型】解答 【关键词】
【解析】当k?0时，原方程化为4x?8?0，解得x??2．故当k?0时，原方程的解都是整数．
当k?2时，原方程化为?8x?8?0，解得x?1，故当k?2时，原方程的解都是整数． 当k?0且k?2时，原方程化为(kx?2)[(k?2)x?4]?0．
24解得x1?，x2?．
kk?22224由x1?，得k?．把k?代入x2?中，得x1x2?2x1?x2?0．
x1x1kk?2故(x1?1)(x2?2)??2?1?(?2)?2?(?1)．
因为x1、x2为整数，所以x1?1、x2?2也均为整数．于是，有 ?x1?1?1?x?1??2?x1?1?2?x?1??1或?1或?或?1． ?x?2??2x?2?1x?2??1x?2?2?2?2?2?2分别解得 ?x1?2?x1??1?x1?3?x1?0或或或(舍去)． ????x??4x??1x??3x?0?2?2?2?2故k?1,?2,2． 32． 3综上，k的值为?2,0,1,2,【答案】?2,0,1,2,2 3
【巩固】设关于x的二次方程(k2?6k?8)x2?(2k2?6k?4)x?k2?4的两根都是整数，求满足条件的所有实
数k的值．
【考点】一元二次方程的整数根 【难度】5星 【题型】解答
【关键词】2000年，全国联赛
【解析】??(2k2?6k?4)2?4(k2?4)(k2?6k?8)?4(k?6)2
?2k2?6k?4?2(k?6)由求根公式得x?
2(k2?6k?8)24即 x1??1? ,x2??1?k?4k?224,k?2??由于x≠-1，则有k?4?? x1?1x2?124??2 两式相减，得
x1?1x2?1即 x1(x2?3)??2
由于x1，x2是整数，故可求得x1?2,x2??4或x1??2,x2??2或x1?1,x2??5
10分别代入，易得k?，6，3．
310【答案】，6，3
3
【巩固】k为什么实数时，关于x的方程(6?k)(9?k)x2?(117?15k)x?54?0的解都是整数？ 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】6星 【题型】解答 【关键词】
【解析】易知k?6或k?9时，原方程的解都是整数．
当k?6或k?9时，原方程化为：?(6?k)x?9??(9?k)x?6??0，
从而解得x1?9?6?k3k2?3，x2?6?9?k2k3?3．
因为x1、x2为整数，易知不妨设
k为有理数． 3km?，其中m为整数，3n?m??1为正整数，且(m，n)?1， 3n3n2n代入x1、x2中得到x1?，x2?．
2n?m3n?m因为(n，2n?m)?(n，2n?(2n?m))?(n，m)?1，(n，3n?m)?(n，3n?(3n?m))?(n，m)?1，故2n?m3，3n?m2．于是2n?m??1，?3；3n?m??1，?2．
注意到2n?m?3n?m，将上式的各种情况组合列表如下： 2n?m1 -1 -1 -3 -3 -3 -3 3n?m 2 1 2 -1 1 -2 2 n 1 2 3 2 4 1 5 m 1 3 7 7 11 5 13
k577111315213339因此，?1，，，，，5，，即k?3，，7，，，15，．
232224345515393321综上所述，当k?3，6，7，，，，9，，15时，原方程的解都是整数．
2425点评：一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求的话)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题．有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，这些都是最自然的做法．
15393321【答案】当k?3，6，7，，，，9，，15时，原方程的解都是整数
2425
【巩固】若关于x的方程?6?k??9?k?x2??117?15k?x?54?0的解都是整数，则符合条件的整数k的值有_______个．
【考点】一元二次方程的整数根 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】
96，x2?， 6?k9?k?2，?3，?6时，x2是整?3，?9时，x1是整数，这时k?7，，，5315，?3；当9?k??1，当6?k??1，811，7，12，15，3综上所述，k?3，6，7，，915时原方程的解为整数． 数这时k?10，，6，7，，915 【答案】k?3，
【例7】 若k为正整数，且关于k的方程k2?1x2?6?3k?1?x?72?0有两个相异正整数根，求k的值． 【解析】当k?6时，得x?2；当k?9时，得x??3，当k?9时，解得x1???【考点】一元二次方程的整数根 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】
【解析】原方程变形、因式分解为?k?1??k?1?x2?6?3k?1?x?72?0，
???k?1?x?12?????k?1?x?6???0．
即x1?由
126，x2?． k?1k?1126为正整数得k?1,2,3,5,11；由为正整数得k?2,3,4,7． k?1k?1所以k?2,3使得x1，x2同时为正整数，但当k?3时，x1?x2?3，与题目不符， 所以，只有k?2为所求．
【答案】k?2
【巩固】已知方程(a2?1)x2?2(5a?1)x?24?0有两个不等的负整数根，则整数a的值是__________． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】4星 【题型】填空
【关键词】第3届，“祖冲之杯”竞赛题 【解析】原方程可变为
a2x2?10ax?x2?2x?24?0 即a2x2?10ax?25?x2?2x?1 (ax?5)2?(x?1)2 ax?5??(x?1)
64得：x1? ,x2?a?1a?1当a?1??1,?2,?3,?6，即a?0,?1,?2,?5时，x为负整数． 但a?0时，x2?0； a??5时，x1?x2??1 又a??1， ∴a??2
【答案】-2
【巩固】若k为正整数，且关于k的方程(k2?1)x2?6(3k?1)x?72?0有两个相异正整数根，求k的值． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】4星 【题型】解答
【关键词】2000年，全国联赛试题，
【解析】原方程变形、因式分解为(k?1)(k?1)x2?6(3k?1)x?72?0，
[(k?1)x?12][(k?1)x?6]?0．
126即x1?，x2?．
k?1k?1126由为正整数得k?1,2,3,5,11；由为正整数得k?2,3,4,7． k?1k?1所以k?2,3使得x1，x2同时为正整数，但当k?3时，x1?x2?3，与题目不符，所以，只有k?2 为所求．
【答案】k?2
【例8】 关于x的方程ax2?2(a?3)x?(a?2)?0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】
【解析】当a?0时，原方程变成?6x?2?0，无整数解．
当a?0时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式 ??4(a?3)2?4a(a?2)?4(9?4a)
为完全平方数，从而9?4a是完全平方数．令9?4a?n2，n是正奇数，
9?n2且n?3(否则a?0)，所以a?．由求根公式得
4?2(a?2)?2n4(3?n)3?n44．所以，． x1,2???1???1?x??1?x??1?122aa3?n3?n9?n2要使x1为整数，而n为正奇数，只能n?1，从而a?2．要使x2为整数，即(n?3)|4，n可取1,5,7，从而a?2,?4,?10．
综上所述，a的值为2,?4,?10．
点评：本题是前面两种方法的“综合”．既要用判别式是平方数，又要用直接求根．有时候，往往是几种方法一同使用．
【答案】2,?4,?10
【巩固】已知方程ax2??3a2?8a?x?2a2?13a?15?0(a是非负整数)至少有一个整数根，那么a? ．
【考点】一元二次方程的整数根 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】
【解析】∵a?0，∴由公式法可得x1?3a2?8a??a2?2a?2a23a2?8a??a2?2a?35?2?，x2??1?．
aa2a235． 即a?1，，【答案】1,3,5
【巩固】已知关于x的方程a2x2?(3a2?8a)x?2a2?13a?15?0 (其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．
【考点】一元二次方程的整数根 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】
【解析】 “至少有一个整数根”应分两种情况：一是两个都是整数根，另一种是一个是整数根，一个不是整数
根．
因为a?0，所以
2a2所以只要a是3或5的约数即可，即a?1,3,5．
【答案】a?1,3,5
【例9】 设m为整数，且4?m?40，方程x2?2?2m?3?x?4m2?14m?8?0有两个整数根，求m的值及方
x1,2?(3a2?8a)?(3a2?8a)2?4a2(2a2?13a?15)(3a2?8a)?(a2?2a)?．
2a2程的根．
【考点】一元二次方程的整数根 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】
△?4(2m?1)为完全平方数，【解析】又m为4?m?40的整数，则m?12或24．当m?12时，x1?16，x2?26；当m?24时，x3?38，x4?52． 点评：测及一元二次方程的整数根问题，一般用公式法把根表示出来，再让其为整数即可；或先让b2?4ac为完全平方数，再检验．当然测及二次项系数的讨论更容易错．
【答案】当m?12时，x1?16，x2?26；当m?24时，x3?38，x4?52．
【巩固】已知12?m?40，且关于x的二次方程x2?2(m?1)x?m2?0有两个整数根，求整数m．
【考点】一元二次方程的整数根 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】2007～2008，清华附中，初三第一次月考试题
【解析】由原方程由整数解可知，??4(m?1)2?4m2?4(2m?1)必然是一个完全平方数．
又12?m?40可知，25?2m?1?81，又2m?1为奇数，故2m?1?49?m?24．
2(m?1)??50?14?，不妨设x1?x2，则x1?32，x2?18
22故m?24．满足?为完全平方数只是条件之一，另外一个条件也必须同时满足，要引起注意．
【答案】m?24
【例10】 求所有有理数r，使得方程rx2?(r?1)x?(r?1)?0的所有根是整数．
此时原方程的两个实数根为：x1,2?【考点】一元二次方程的整数根 【难度】6星 【题型】解答 【关键词】
【解析】分析 首先对r?0和r?0进行讨论．r?0时，是关于x的一次方程；r?0时，是关于x的二次方程，
由于r是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效．可用韦达定理，先把这个有理数r消去．
解：当r?0时，原方程为x?1?0，所以x?1．
1?x?x??1?12??r． ?1?xx?1?12??r当r?0时，原方程是关于x的一元二次方程，设它的两个整数根为x1，x2，且x1≥x2，则 消去r得
?x1?1?3?x1?1??1?x?4?x1?0x1x2?x1?x2?2?(x1?1)(x2?2)?3??或?，即?1或?；
x?1?1x?1??3x??1x?2?2?2?2?2∴r?11??或1．
1?x1x27综上所述，当r??【答案】r??1，0，1时，方程的所有根都是整数． 71，0，1 7
【巩固】已知p为质数，使二次方程x2?2px?p2?5p?1?0的两根都是整数，求出所有可能的p的值． 【考点】一元二次方程的整数根 【难度】5星 【题型】解答
【关键词】2002年，上海市，初中数学竞赛
【解析】由于这个整系数一元二次方程有整数根，所以
??4p2?4?p2?5p?1??4?5p?1?
是完全平方数，从而5p?1是完全平方数．令 5p?1?n2，n是整数，
则5p??n?1??n?1?．
所以，5|?n?1??n?1?，即5|n?1或5|n?1．
若5|n?1，令n?1?5k，则p?k?5k?2?，由于p是质数，故k?1，p?7，此时方程为x2?14x?13?0，x1?1，x2?13满足条件．
若5|n?1，令n?1?5k，则p?k?5k?2?，故k?1，p?3，此时方程为x2?6x?7?0，x1??1，