第三章 静电场
重点和难点
介绍电位满足的泊松方程和拉普拉斯方程，对于方程的定解条件，以及解的存在、稳定和惟一性问题应予说明，至于求解方法及惟一性证明可以从简。
镜像法应重点讲解。强调镜像法的依据是惟一性定理，镜像法的理念是以镜像电荷代替边界的影响，从而把一个非均匀空间变为均匀空间。此外，还应说明仅在待求的场区等效。
三种坐标系中求解拉普拉斯方程的方法，可以根据学时多少，适当取舍。若学时允许，建议介绍圆柱坐标系或球坐标系中的分离变量法。因为第九章中求解矩形波导中电磁波时还要使用直角坐标系中分离变量法。
重要公式
电位方程：
有源区中电位满足泊松方程：?2???? ?无源区中电位满足拉普拉斯方程：?2??0 泊松方程的积分解：
?(r)??G0(r, r?) V ?? S?( r?)dV??
[G0(r, r?)???(r?)??(r?)??G0(r, r?)]?dS1 ?4?|r? r|自由空间格林函数：G0(r, r?)?泊松方程的自由空间解：
?(r)?
1?? V??(r?)G0(r,r?) dV?
1
题 解
3-1 已知在直角坐标系中四个点电荷分布如习题图3-1所示，试求电位为零的平面。 解 已知点电荷q的电位为
Y ??q4?? r-q ，令q1??q(0,1,0)，
+q 3cm +q 1cm X -q q2??q(3,1,0)，q3??q(1,0,0)，q4??q(0,0,0)，那么，图中4
习题图3-1
个点电荷共同产生的电位应为
q4?? r1q4?? r2???14qi4?? ri?
q令??0，得 ???q4?? r34?? r4?0
由4个点电荷的分布位置可见，对于x=1.5cm的平面上任一点，r1?r2, r3?r4，因此合成电位为零。同理，对于x=0.5cm的平面上任一点，r1?r4, r2?r3，因此合成电位也为零。所以，x=1.5cm及x=0.5cm两个平面的电位为零。
3-2 试证当点电荷q位于无限大的导体平面附近时，导体表面上总感应电荷等于(?q)。
证明 建立圆柱坐标，令导体表面位于xy平面，点电荷距离导体表面的高度为
h h -q 习题图3-2
3z q r1r2P(r, z)
x h，如图3-2所示。那么，根据镜像法，上半空间的电场强度为
E?qr14??0 r1?qr24??0 r23
2
电通密度为
D??0E?322rqr1(3?23) 4?r1r23322式中 那么，
r1?[r2?(z?h)]； r2?[r2?(z?h)]
3??rer?(z?h)ez?q?rer?(z?h)ezD???33?4??222[r2?(z?h)2]2??[r?(z?h)]???q??rr ???334???222222?[r?(z?h)]??[r?(z?h)]??z?hz?h ???33?[r2?(z?h)2]2[r2?(z?h)2]2????er ???????ez?????已知导体表面上电荷的面密度?s?Dn，所以导体表面的感应电荷为
?s?Dzz?0??q??h?h?qh???? ??3334??222222[r2?h2]2??[r?h]?2?(r?h)则总的感应电荷为
q'???sdS???s2?rdr??qh?s0??rdr(r2?h2)320??q
3-3 根据镜像法，说明为什么只有当劈形导体的夹角为?的整数分之一时，镜像法才是有效的？当点电荷位于两块无限大平行导体板之间时，是否也可采用镜像法求解。 答 根据镜像法，如果劈形导体的夹角不为?的整数分之一时，则镜像电荷不能最终和原电荷重合，这样将会产生无限多个镜像电荷，每个镜像电荷都会产生一定的电位，导致合成电位无限大，因而无解。
当点电荷位于两块无限大导体板之间时，可采用镜像法求解。此时虽然也会产生无限多个镜像电荷，但是远处的镜像电荷对于两板之间的场点贡献越来越小，因
3
此可以获得一个有限的解。
3-4 一根无限长的线电荷平行放置在一块无限大的导体平面附近，如习题图3-4所示。已知线电荷密度
?l?10(C/m)，离开平面的高度h?5m，空间媒质的相对介电常数?r?4。试求：① 空间任一点场强及能量密度；② 导体表面的电荷密度；③ 当线电荷的高度增加一倍时，外力对单位长度内的线电荷应作的功。
解 ①建立圆柱坐标，令导体表面位于xz平面，导体上方场强应与变量z无关。根据镜像法，上半空间中任一点P(x,y)的场强为
E? ? y ?l ?r 导体
习题图3-4
h x
?lr1??lr2?l?xex?(y?h)eyxex?(y?h)ey????2?2?2222??r?x?(y?h)x?(y?h)2?2??rr12??rr2?l2??r???xx??e???2222?xx?(y?h)???x?(y?h)
?(y?h)(y?h)?? ????x2?(y?h)2x2?(y?h)2??ey????电场能量密度为
?lh2(x4?y4?h4?2x2h2?2x2y2?2y2h2)12w??rE? 22222222??r[x?(y?h)][x?(y?h)]已知导体表面的电荷面密度?s?Dny?02，那么
?s?Dny?0??rEyy?0???lh2(C/m) 22?(x?h)单位长度内线电荷受到的电场力可等效为其镜像线电荷对它的作用力，即
4
??lF?ey 22??r(2h)2可见，线电荷受到的是吸引力。所以，当线电荷的高度h增加一倍时，外力必须做的功为
W??(?F)?dl??h2h2hh?l211dy??2.81?10 （J）。 216??rh2??r(2y)?l2
3-5 在无限大的导体平面上空平行放置一根半径为a的圆柱导线。已知圆柱导线的轴线离开平面的距离为h，试求单位长度圆柱导线与导体平面之间的电容。
解 根据镜像法可知，无限大的导体平面与无限长圆柱导线之间的场分布与两根无限长平行圆柱导线之间的一半空间的场分布完全相同。因此，圆柱导线与导体平面之间的单位长度内的电容是两根平行圆柱导线的单位长度内的电容一倍。由教材3-3节获知两根平行圆柱导线的单位长度内的电容为
C1???2?D??D??ln????1??2a??2a???????D?arccosh???2a?
式中D为两根圆柱导线轴线之间的距离，a为圆柱导线的半径。因此，对于本题的圆柱导线与导体平面之间的单位长度内的电容为
C1?2??2?h?h???ln????1??a?a?????2???h?arccosh???a?
若高度h>>a，上式还可进一步简化为
C1?2?? 2h??ln???a?
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