?o?(?E0r?a3E0r?2)cos?
因E??????(er??1???e?)，那么球外电场强度为 ?rr??2a3a3E(r,?)?erE0(1?3)cos??e?E0(3?1)sin?
rr再由?s?Dnr?a??0Er的电荷密度为
r?a???0???r，求得导体球表面
r?a?s?3?0E0cos?
Z 3-26 若在内半径为r1，外半径为r2，介电常数为? 的介质球壳中，同心地放置一个半径为a的导体球(a?r1），如习题图3-26所示。若导体球的电荷为q，根据电位微分方程求 出电位分布函数。
习题图3-26 r2 a r1 ? 0 ? ? 0 X 解 由于结构为球对称，电位与?和?都无关，故电位 微分方程为
1?2??(r)?0 r2?r?rA?B r直接积分求得
??式中A和B为待定常数。
将整个空间分成三个区域：
A1?B1； rA2）在r1?r?r2区域中，令其电位为?2?2?B2；
rA3）在r?r2区域中，令其电位为?3?3?B3。
r1）在a?r?r1区域中，令其电位为?1?再根据边界条件，求解各个待定常数。 ①当r??时，??0，得B3?0。
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②当r?r2时，?2??3，即系
??0??3?r???r?r2AA2?B2?3，且?2,?3满足下列关r2r2??2?r
r?r2③当r?r1时，?1??2，即列关系
??0??1?rA1A?B1?2?B2，且?1,?2满足下r1r1???r?r1??2?r
r?r1④当r?a时，??0最后求得
??1?r??s?r?aq。 4?a2A1?A3?q4??0；
A2?q 4??q(???0)
4??0?r2q(???0)?11??B1???； ?4??0??r2r1??B2?因此 ?1?q4??0r?q(???0)?11?q(???0)q??????；；2??4??0??r2r1?4??r4??0?r2?3?q4??0r。
3-27 一个无限长的导体 圆锥，夹角为2a，垂直地 放在无限大的导体平面上。 若导体圆锥电位为?0，导 体平面电位为零，如习题 图3-27所示，试求空间 电位分布。
解 由题意知，圆锥与平面之间的电位仅是坐标变量?? ? ?1= ?1= 0 ? 习题图3-27
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的函数，因此本题可用直接积分法求解。设???(?)，将其代入球坐标系中的拉普拉斯方程，得
1dd?(sin?)?0
r2sin?d?d?在不包括r?0，??0与???的情况下，上面的方程可写成
dd?(sin?)?0， d?d?d?积分求得 sin??A
d?Ad??即 ????B?Aln(tan)?B
sin?2式中A，B为待定常数。
????, ???0?由边界条件：?，求得 ???, ??0?2?A??0ln(tan)2?，B?0
将其代入?的表达式中，求得电位函数为
???(?)???0ln(tan)2。 ?ln(tan)23-28 若在厚度为d的无限大导体板上方h处，放置一个 点电荷q，如习题图3-28所示。试求导体板上下方的电 场强度。
y y q d h o 习题图3-28(a)
P(x,y) x
q r1 h o x r2 h q′ 习题图3-28(b)
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解 建立直角坐标，令导体板上表面位于y = 0平面，如图3-28(b)所示。那么，导体板上方的电场将由点电荷q和其镜像电荷q?共同产生的，该镜像电荷q???q，距上表面为h，则上半空间的电场强度为
E(r)?Eq(r)?Eq?(r)?qr14??0r13??qr24??0r23
其中r1与r2分别为q和q?到上半空间中任一点P(x,y)的位置矢量，即
r1?xex?(y?h)ey；r2?xex?(y?h)ey
由于导体板下方无其它电荷，如果下表面上有电荷，应为均匀分布。但是因为导体板是无限大的，因此电荷密度为零，导体板下方不可能存在电场。实际上，无限大的导体可以认为是闭合的。因此，由于导体板的屏蔽作用，上方电荷不可能在下方产生电场。
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