?qq?aq2F2?e?e（N） 2r3r4??0f4??0f合力为
q2a3(2f2?a2)F?F1?F2??er（N）
4??0f3(f2?a2)2当导体球接地时，则仅需一个镜像电荷q?，故q所受到的电场力为F1。
3-11 在半径为a的接地导体球附近，沿径向放置一根长度为l的线电荷，如习题图3-11(a)所示。已知线电荷密度为?l，近端离球心的距离为D，试求镜像电荷及其位置。
解 采用镜像法，应在球内径向位置引入一个镜像线电荷
?xmina D ?l l 习题图3-11(a) x? dx? o x dx ?l x x?max 习题图3-11(b)
?l?，离球心最近的一端对应原先的线电荷?l离球心的最远端，而?l?的最远端对应?l的最近端。设?l上任一点距离球心为x，(D?x?D?l)，?l?上任一点距离球心为x?，则根据点电荷与导体球面的镜像规律，获知镜像线电荷的长度范围为
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a2a2 ?x??D?lDa2a2a2dx??dx?。位置x与x?的关系为x??。因此，x?， 2xx??x??再根据电量关系?ldx??的分布函数为
a即可求得镜像电荷?l?dx?，
x?a?l???l
x?3-12 在半径为a的接地导体球附近，横向放置一根长度为l的线电荷，如习题图3-12(a)所示。已知线电荷密度 为?l，线电荷中心离球心的距离为D，试求镜像电荷及其位置。
习题图3-12(b) dq? 习题图3-12(a)
a D ?l l ?max θ f D d? r? ?? ldq??ldl
df dl fd? ?l
解 求解方法与上题类似。对应于点电荷dq??ldl的镜像线电荷为dq???l?dl?，如图3-12(b)所士示。设点电荷dq距离球心为f?D，则其镜像电荷dq?离球心的距离为 cos?a2a2cos?r???
fD由图可知
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dl?(fd?)2?(df)?122?Dsin??D2???(d?)2?(d?)?cos2??cos??1212
sin??D?12??()?(2)2?Dd??d?2cos?cos?cos???dl??(r?d?)?(dr?)?2122??acos?asin?2?a2???()?d??d??D2?DD??42212
因此，dq???为
aadq??l?dl????ldl，即镜像电荷分布函数
DDadlD?l???l 2?Ddlacos??l???
3-13 已知一个不接地的半径为a的导体球携带的电荷为Q，若电荷为Q的点电荷移向该带电球，试问当点电荷受力为零时离球心的距离。(当点电荷所带电荷与导体球所带电荷相反时，点电荷肯定受到引力，即其受力不可能为零)。
解 如习题题3-10所示，如前所述，根据镜像法，若导体球原先不带电，对于点电荷Q，必须在球内距离球心
a2d?处引入一个镜像电荷q?，而在球心处再放置另一个
ff Q d -qqQ ′′ 习题图3-10
电量为?q?的点电荷，以保持电荷守恒及导体球为等位
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体。本题中导体球已带有电量为Q的电荷，因此在球心处放置的另一个镜像电荷的电量应为(Q?q?)。那么，点电荷q将受到的镜像电荷的作用力为
???a2?a2?q?q???Q?fq??f???er F?FQ?q??Fq????22?4??0fa2?4??(f?)?0?f??要使点电荷受力为零，则f应满足下列方程
a2qqQf??4??0f24??0f2a2qfa224??0(f?)f?0
求解此高次方程可用作图法。为此，先将上式化简为
1a??f2f3aa22f(f?)f?0
再化为关于
f的方程即 aaf?1fa??0 322?f???f????????1??a???a????若x?f，则上面的方程又可写为 ax?1x??0 232xx?1??令y1?xx?1y?，22，分别作图求得y1和y2的交点，32x?x?1?即是所要求的解。根据题意可知x?f?1，由下图可见ay1?y2?0的解位于x=1.5~2之间。其值近似为x?1.62，即f?1.62a时，点电荷q受力为零。
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3-14 试证位于内半径为a的导体球形空腔中的点电荷q受到的电场力大小为
q2adF?
4??0(a2?d2)2式中d为点电荷离球心的距离。再计算腔中电位分布以及腔壁上的电荷分布。
证明 根据点电荷与导体球的镜像关系，可知点电荷q在腔外的镜像电荷为q???2aq， dZ q′ 距球心f?a；如下习题图df 3-14所示。则q所受到的力可等效为镜像电荷q?对它的电场力，其大小为
F?qq?qad??4??0(f?d)24??0(a2?d2)22q P(r,? , θ ?Y a X 习题图3-14
显然，腔内任一点P(r,?)电位与?无关，它可表示为
??
14??0(qr?d?2rdcos?22?aqdr?f?2rfcos?22)
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