3-23 若无限长的导体圆柱 腔的内半径为a，腔壁被 纵向地分裂成两部分，各 部分的电位如习题图3-23 所示，试求腔内外的电位 分布。
解 与上题同理，由于电位与z无关，此时通解为
?1??0 a X ?2???0 习题图3-23
?(r,?)?A0lnr??rm(Amsinm??Bmcosm?)m?1???r?m(Cmsinm??Dmcosm?)m?1?
设圆柱内部的电位为?i，圆柱外部的电位为?o，电位应该满足下列边界条件：
1，当r = 0时，?i应为有限值，则柱内电位为
?i??rm(Amsinm??Bmcosm?)
m?1?2，当r??时，?o为零，则柱外电位为
?o??r?m(Cmsinm??Dmcosm?)
m?1???0(0????)3，当r?a时，?r?a??。
???0(????2?)为了满足边界条件3，必须将?数，即令
r?a展开成傅立叶级
?r?a式中
a0?a0?????amcosm??bmsinm?? 2m?1??12?0?r?ad????1?0?0d?????12?(??0)d??0
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am? ?bm? ?1????112?0?r?acos?m???d??0?0cosm??d?????12?(??0)cosm??
d??0??1??02?0?r?asinm???d?1???0sinm???d?????2? ?4?0,m为奇数m???(??0)sind???m????0, m为偶数(m为奇数)
求得
?r?a??4?0sinm?m?1m??再进行比较各自系数，即知
B1m?D2m4?0am4?0?0；A1m?；C2m? mm?m?a?m4??r?所以，柱内电位为?i??0??sinm?（m为奇数）
m?a??m?14??a?柱外电位为?o??0??sinm?（m为奇数）。
m?1m??r??m
3-24 若无限长的导体圆柱 腔的内半径为a，腔壁被 纵向地分裂成四部分，各 部分的电位如习题图3-24 所示，试求腔内外的电位 分布。
习题图3-24
Y ?2?0 ?1??0 a X
?3???0 ?4?0
解 与上题同理，由于电位与z无关，此时通解为
?(r,?)?A0lnr??rm(Amsinm??Bmcosm?)m?1? ??r?m(Cmsinm??Dmcosm?)m?1?
设圆柱内部的电位为?i，圆柱外部的电位为?o，电位应该满足下列边界条件：
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1，当r = 0时，?i应为有限值，则柱内电位为
?i??rm(Amsinm??Bmcosm?)
m?1?2，当r??时，?o为零，则柱外电位为
?o??r?m(Cmsinm??Dmcosm?)
m?1?3，当r?a时，?r?a???(0???)?02??0(?????)?2 ?????(????3?)?02?3??0(???2?)2?r?a为了满足边界条件3，必须将?令
展开成傅立叶级数，即
?r?a式中
a0?a0?????amcosm??bmsinm?? 2m?1??112?0?r?ad????1?20?0d?????13?2(??0)d??0
am???2?0?r?acosm???d?
?0(m?4k)?2??0(m?4k?1)?3?1m??1m???m???2?0cosd???2(??0)cosd????0?????0(m?4k?2)?2?0(m?4k?3)???m?式中k?0,1,2,3?。
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bm?1??2?0?sinr?am???d??0(m?4k)?2??0(m?4k?1)
m???m?(??0)sind?????0(m?4k?2)?2?0(m?4k?3)? ???1?20?0sinm???d??1???3?2?m?式中k?0,1,2,3?。
??0m?4k?????2?0cosm??2?0sinm???m?4k?1求得 ?r?a????m?1?m?m?? ?0m?4k?2?????????2?0cosm??2?0sinm???m?4k?3m?1?m?m??式中k?0,1,2,3?。
再比较各自的系数，即可确定?i和?o中的系数。最后求得，柱内电位为
??0(m?4k)??2?m0??r???sinm??cosm??（m?4k?1）?????m?1m??a?i??0(m?4k?2) ??2?????rm??0???a???sinm??cosm??（m?4k?3）m?1m式中k?0,1,2,3?。柱外电位为
??0(m?4k)??2??a?m????0m?1m???r???sinm??cosm??（m?4k?1）o??0(m?4k?2) ????2???0?m??a?m?r???sinm??cosm??（m?4k?3）?m?1式中k?0,1,2,3?。
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3-25 当半径为a的导体球 位于均匀电场E0中，如习 题图3-25所示。利用分离 变量法求解球外场强及球 面上的电荷分布。
a Z
? 0 ?E0?E0z习题图3-25
解 已知在球坐标系中，电位所满足的拉普拉斯方程为
1?2??1???1?2?(r)?2(sin?)?22?0 r2?r?rrsin?????rsin???2应用分离变量法，令
?(r,?,?)?R(r)?(?)?(?)
考虑到场量与?无关，此时通解可表示为
?(r,?)??(Cnrn?Dnr?(n?1))Pn(cos?)，
n?0?s)为勒让德函数。 式中Pn(co?设球内电位为?i，球外电位为?o，电位应该满足下列边界条件：
1，已知电位参考点的选择不会影响电场强度的计算，若取球心为电位参考点，由于导体球为等位体，因此，当
r?a时，?i?0。
2，当r??时，若取球面作为为电位参考点，则
?o??E0rco?s。
那么，由条件2可得，?2?(?E0r?D1r?2)cos?。再利用条件1，可得D1?a3E0。即球外电位为
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