已知导体表面的电荷密度
?s?Dn求得
r?a??0Err?a???0???(?r)32
r?a?s?q(d2?a2)4?a(a2?d2?2adcos?)
3-15 半径为a的不接地的 导体球中含有半径为b的球 形空腔，如习题图3-15(a)所示。 若在导体球外，离球心f处 放置一个电量为q的点电荷， 在空腔中离腔心d1处放置另
习题图3-15(a)
a q’ dd2 q f 一个电量为q?的点电荷，腔心与球心间距为d2，且腔心、球心、点电荷q及q?均在一条直线上。试求腔中、导体球内外任一点场强。
解 由于导体球的屏蔽作用，球外点电荷q以及球面上的感应电荷对于腔中的场强没有贡献。因此，计算腔中场强仅需考虑腔内的点电荷q?以及空腔内壁上感应电荷的作用。为了考虑腔壁上感应电荷的影响，可以应用镜像法，以一个腔外镜像电荷等效腔壁上感应电荷的影响。此时可以直接利用点电荷与导体球的镜像关系，导出腔外镜像电荷的位置与电量。如图3-15(b)所示，球外镜像电荷q??的位置及电量分别为
b2D?；
d1q????Dq? b计算腔外场强也可应用镜像法，此时导体球的半径为a，如习题图3-15(b)所示。但是腔中必须引入两个镜像电荷q0和q??，其中q0位于球心，q??的位置和电量，以及
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q0的电量分别为
a2aa；q?????q；q0?q??q d3?fff
D ? d2 q? a q? b q0 q?? ? ? ? d1 ? q d3 f 习题图3-15(b)
综上所述，腔内场强由两个点电荷q?和q?共同产生，
腔外场强由三个点电荷q，q?和q?? 共同产生，而导体内的场强为零。
3-16 已知点电荷q位于半径为a的导体球附近，离球心的距离为f，试求：①当导体球的电位为?时的镜像电荷；②当导体球的电荷为Q时的镜像电荷。
解 ①如前所述，此时需要两个镜像电荷等效带电导体球
a2a的影响。一个是离球心处，电量为q???q的镜像电
ff荷。另一个镜像电荷q?位于球心，其电量取决于导体球的电位。
已知导体球的电位为?，而镜像电荷及球外点电荷对于球面边界的电位没有贡献，因此，球心镜像电荷q?的电量应满足
??即
q??4??0a
q???4??0a?
a2② 当导体球携带的电荷为Q时，在离球心处的镜像
f
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电荷仍然为q???aaq，而球心处的镜像电荷q???Q?q，
ff以保持电荷守恒，即q??q???Q。
3-17 设点电荷q位于导体球壳附近，已知球壳的内半径为a，外半径为b，点电荷离球心的距离为f，壳内为真空，当球壳的电位为?(??0)时，试求：① 球壳内外电场强度；② 球壳外表面上最大电荷密度；③ 当距离f增加一倍时，系统能量改变多少？
解 ①由于球壳的屏蔽作用，壳内场强为零。若建立的球坐标系如习题图3-17所示，那么壳外场强与坐标变量? 无关。
P(r,?,? ) ? b r ? r2 f r1 q q? q? a Z
习题图3-17
当球壳的电位为?时，由上题获知位于球心的镜像电荷q?应为
q???4??0b?
壳外的场强将由点电荷q及其镜像电荷q?和q?共同产生，壳外的合成电位为
?o?14??0(q??qq???) rr1r2b2b式中镜像电荷q???q，离球心的距离为，则壳外的
ff电场强度为
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Eo????o??14??0?(q??qq???) rr1r2??q??4??0??
??b??r?fcos?bf(rf?b2cos?)?e?3?3??2?r222242r22????r?f?2rfcos???rf?b?2rfbcos?????qfsin??4??0r??b31 ?3?3?e?224222???rf?b?2rfbcos??2?r?f?2rfcos??2??q(b2?f2)4?bf2?b2?2fbcos?② 球壳表面的电荷密度为
?s?Dnr?b??0Err?b???32??0?b
其最大值为
?smax??scos??1??0?b?q(b?f) 24?b?f?b?③ 系统能量的改变来自外力作的功。已知点电荷q受到的电场力为
F?qq??b2?4??0??f?f????e?2rqq??er?4??0f2qq??b2?4??0??f?f????e?2rqb?er f2由此可见，若q >0?q?<0，又因? <0，故电场力的实际方向为(-er)。在外力作用下，当点电荷q离开球心的距离增加一倍时，外力F?作的功为
W??F??dr??f2f2ff?qb?brq2?2??4??0r2?b2?r????dr 2??
qb?bq2??2f8??0??11???4f2?b2f2?b2?? ??此功将全部转变为系统增加的能量。
3-18 证明无源区中电位分布函数不可能具有最大值或最小值。
证明 以直角坐标系为例。已知无源区中电位满足拉普拉斯方程
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?2??2??2??2?2?0 2?x?y?z该方程的通解为?(x,y,z)?X(x)Y(y)Z(z)。若此解在(x0,y0,z0)点取得极值，那么在该点应有
?????????0 ?x?y?z?2???若是一维空间，因?0，2?0，可见?为常数，
?x?x即电位函数没有极值。
?2??2??2?????若是二维空间，??0，2?2?0，显然
?x?y?x?y?x2?2?和不可能同时大于零或同时小于零，因此不可能有极2?y大值或极小值。
?2??2??2?同样对于三维空间，2，2和2不可能同时大
?y?x?z于零或同时小于零，因此不可能有极大值或极小值。
综上所述，无源区中的电位分布函数不可能具有极大值或极小值。因此，无源区中电位分布函数不可能具有最大值或最小值。
3-19 已知无限大的平板电容器 中的电荷密度??kx，k为常数， 填充介质的介电常数为? ，上板
2x V d ? o ?(x) y 习题图3-19
电位为V，下板接地，板间距为d，如习题图3-19所示。试求电位分布函数。
解 由习题图3-19可见，电位分布仅与坐标变量x有关，与坐标变量y，z无关。因此，电位方程简化为一维泊松方程。设电位分布函数???(x)，则由?2????，得 ?20