|AF||BF|=e（e是椭圆的离心率）. ?|AD||BC|∵AD∥FE∥BC， ∴
|EN||CN||BF||FN||AF|， ??,?|AD||CA||AB||BC||AB||AD|?|BF||AD|?|BC||AF|?|BC|?e???|FN|.
|AB||AB||AB|即|EN|?∴N为EF的中点，即直线AC经过线段EF的中点N.
评述：本题主要考查椭圆和直线的基础知识以及综合运用知识解决问题的能力.两种证法均为通法，但证法二充分挖掘椭圆几何性质，数形结合，更为直观简捷，所以两法相比较，证法二较好.
79.解：（1）A点的坐标为（1，3），F点的坐标为（1，1）
当t＞0且t≠1时，TQ的方程为y=
x?t； 1?t当t=1时，TQ的方程为x=1.
（2）联立直线OA和直线TQ的方程；
?y?3x?y?3x? x?t或??x?1y???1?t?得Q点的纵坐标为yQ＝
3t，yQ＝3， 3t?22， 3∵t＞0，且yQ＞1，∴t＞
3t22∴f（t）＝(t?)
2(3t?2)33t2(3t)2(3t?2?2)214∴f（t）=???(3t?2??4)，
2(3t?2)6(3t?2)6(3t?2)63t?2∵t＞
214，∴3t－2＞0，∴f（t）≥（24＋4）＝， 363444时等号成立，即t=时，S=f（t）的最小值为． 333当且仅当t＝
43t2（3）f（t）=在区间（，＋∞）上为增函数．
32(3t?2)证明：任取t1、t2∈（
44，＋∞），不妨设t2＞t1＞． 33f（t1）－f（t2）＝
4114（3t1－2+＋4）－（3t2－2＋＋4） 663t1?23t2?2＝
14（t1－t2）［1－］ 2(3t1?2)(3t2?2)＝
(3t1?2)(3t2?2)?41（t1－t2） 2(3t1?2)(3t2?2)4，∴t1－t2＜0，（3t1－2）（3t2－2）＞4，∴f（t1）＜f（t2）． 34，＋∞）上为增函数． 32∵t2＞t1＞
∴S＝f（t）在（
80.解：点A，B在抛物线y2＝4px上，
y设A（A4p∴kOA2y，yA），B（B4p，yB），OA、OB的斜率分别为kOA、kOB．
yA4p4p． ?2?,kOB?yAyByA4p①
16p2由OA⊥OB，得kOA2kOB＝＝－1
yAyB依点A在AB上，得直线AB方程
y（yA＋yB）（y－yA）＝4p（x－A4p由OM⊥AB，得直线OM方程y=
2） ②
yA?yBx ③
?4px，并利用③式 4p设点M（x，y），则x，y满足②、③两式，将②式两边同时乘以－
整理得，
x2
yA+yyA－（x2＋y2）＝0 4p ④
由③、④两式得－
x+yByA－（x2＋y2）＝0， 4p由①式知，yAyB＝－16p2， ∴x2＋y2－4px＝0．
因为A、B是原点以外的两点，所以x≠0．
所以点M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．
评述：本小题主要考查直线、抛物线的基础知识，考查由动点求轨迹方程的基本方法以及方程化简的基本技能．
81.解：以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴,因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称．
依题意，记A（－c，0），C（h是梯形的高．
c1，h），E（x0，y0），其中c=|AB|为双曲线的半焦距，22c?c??2?(??2)c,y??h． 由定比分点坐标公式得x0?01??2(??1)1??cx2y2设双曲线的方程为2?2，则离心率e=.
aab由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e=
c代入双曲线方程得 ae2h2??1 4b2 ①
e2??22?2h2()?()2?1② 4??1??1bh2e2由①式得2??1
b4
③
e2将③式代入②式，整理得（4－4λ）＝1＋2λ，
43故λ＝1－2．
e?2由题设
22333≤λ≤得，≤1－2≤．
4e?2433解得
7≤e≤10．
． 7，10］
所以双曲线的离心率的取值范围为［
评述：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力．
82.解：以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴，因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称．
依题意，记A（－c，0），C（
c1，h），B（c，0），其中c为双曲线的半焦距，c=|AB|，22h是梯形的高，
由定比分点坐标公式，得点E的坐标为
?c?xE?8c8?0??h8112??7c,y?11?h． E8819191?1?1111cx2y2设双曲线的方程为2?2?1，则离心率e=.
aab?1c2h2① ?2?2?1,??4ab由点C、E在双曲线上，得? 22?49?c?64?h?1.② ??361a2361b2c2h21c2由①得2??2?1，代入②得2＝9．
ab4a所以，离心率e=
c2a2＝3．
评述：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力．
x2y283.解：设椭圆C的方程为2?2?1，
ab由题意a=3，c=2
2，于是b=1.
x22
∴椭圆C的方程为＋y＝1．
9?y?x?2?由?x2得10x2＋36x＋27＝0， 2?9?y?1?因为该二次方程的判别式Δ＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点，
设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1＋x2＝?18， 591,）． 55故线段AB的中点坐标为（?评述：本题主要考查椭圆的定义标准方程，直线与椭圆的位置关系及线段中点坐标公式． 84.解法一：依题意，记B（－1，b）（b∈R），则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=－bx.设点C（x，y），则有0≤x＜a，由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等.根据点到直线的距离公式得
|y|=
|y?bx|1?b2①
依题设，点C在直线AB上，故有：y=－
b（x－a） 1?a由x－a≠0，得b=－
(1?a)y ②
x?a22(1?a)xy2(1?a)y将②式代入①式得：y2［1+］=［y－］.
x?a(x?a)2整理得：y2［（1－a）x2－2ax+（1+a）y2］=0
若y≠0，则（1－a）x2－2ax+（1+a）y2=0（0＜x＜a）；
若y=0，则b=0，∠AOB=π，点C的坐标为（0，0）.满足上式. 综上得点C的轨迹方程为：（1－a）x2－2ax+（1+a）y2=0（0≤x＜a）. ∵ a≠1，
a2)y21?a??1（0≤r＜a) ∴2a2a()1?a1?a2(x?③
由此知，当0＜a＜1时，方程③表示椭圆弧段； 当a＞1时，方程③表示双曲线一支的弧段. 解法二：如图8—23，设D是l与x轴的交点，过点C作CE⊥x轴，E是垂足
（Ⅰ）当|BD|≠0时，设点C（x，y）， 则0＜x＜a，y≠0. 由CE∥BD，得
|BD|=
|CE|?|DA||y|（1+a） ?|EA|a?x图8—23 ∵∠COA=∠COB=∠COD－∠BOD=π－∠COA－∠BOD