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(1) 若函数f(x)在x?1，x?1处取得极值，求a，b的值； 21?a????3． --------4分 （2）函数f(x)??b?1?3?(2) 若f?(1)?2，函数f(x)在(0,??)上是单调函数，求a的取值范围．
?f?(1)?0?b1解：（1）f?(x)?2a?2?， 由? ，可得 1?xxf()?0??2的定义域是(0,??), 因为f?(1)?2，所以b?2a?1． ------------ 5分
2ax2?x?(2a?1)(x?1)[2ax?(2a?1)]?所以f?(x)? -------------------------------7分 22xx要使f(x)在(0,??)上是单调函数，只要f?(x)≥0或f?(x)≤0在(0,??)上恒成立． 当a?0时，f?(x)?x?1?0恒成立，所以f(x)在(0,??)上是单调函数； --------9分 2x12a?1，f(x)在(0,??)上不单调,----10分
当a?0时，令f?(x)?0，x1??1，x2?1?当a?0时，要使f(x)在(0,??)上是单调函数，只要1?2a≥0，即0?a≤1 2综上所述，a的取值范围是a?[0,]． ----------------------------12分
已知函数f(x)?x3?ax2?3x
(1) 若f(x)在区间[1,??)上是增函数，求实数a的取值范围；
(2) 若x??是f(x)的极值点，求f(x)在[1,a]上的最大值；
(3) 在(2)的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)?bx的图像与函数f(x)的图
象恰有3个交点？若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由。
1213?f'(1)?0?解（1）f'(x)?3x2?2ax?3,:?a,?a?0 ??????4分
?1??311''(2）因为x??是f(x)的极值点,所以,f(?)?0,?a?4,由f(x)?0
33得:x?3,?1,在区间[1,4]上, f(x)在(1,3)单调减在(3,4)单调增,且f(1)??6,f(4)??12, 3所以,f(x)max?f(1)??6 ??????8分
f(x)?g(x)?x3?4x2?3x?bx,由题意可得:F(x)有三个零点,又由于0是F(x)的
2一个零点,所以,只要再有两个零点且都不相同即可;因此,方程x?4x?3?b?0有两个不等实根且无
(3）设F(x)?·6·
2x?y?0?z?k??25” ?HLLYBQ,?tan?整理? 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）2AB?n3?(?4)2?4(b?3)?0,所以,存在实数b使得函数g(x)?bx的图像与函数f(x)的图象恰零根,所以,?b?3?0?AH?BA?PE,?PEcos??有3个交点,b??7且b??3. ??????12分
AB?n1?PEf?(xBE)?,?ln??ax2?x(a?0). 已知函数
x（Ⅰ）若f(x)是单调函数，求a的取值范围； 2AB5AH?PE?AE?rt?AH?,?tan?AHB??（Ⅱ）若f(x)有两个极值点x1,x2，证明：f(x1)2. 2AH5?f(x2)?3?2ln2 1 2ax－x＋1220、解：（Ⅰ）f(x)＝－lnx－ax＋x，] f?(x)＝－－2ax＋1＝－．2分 xx
1 令Δ＝1－8a,当a≥时，Δ≤0，f?(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)单调递减．?4分 8 1 2当0＜a＜时，Δ＞0，方程2ax－x＋1＝0有两个不相等的正根x1，x2， 8不妨设x1＜x2，则当x∈(0，x1)∪(x2，＋∞)时，f?(x)＜0，当x∈(x1，x2)时，f?(x)＞0， 1 这时f(x)不是单调函数．综上，a的取值范围是[，＋∞)． ???????6分 8 1 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当且仅当a∈(0，)时，f(x)有极小值点x1和极大值点x2， 811 1 22且x1＋x2＝，x1x2＝．f(x1)?f(x2)＝－lnx1－ax1＋x1－lnx2－ax2＋x2＝－(lnx1＋lnx2)－(x12a2a2 1 1 1－1)－(x2－1)＋(x1＋x2)＝－ln(x1x2)＋(x1＋x2)＋1＝ln(2a)＋＋1．?9分 224a1 1 1 1 14a－1令g(a)＝ln(2a)＋＋1，a∈(0，]，则当a∈(0，)时，g?(a)＝－2＝2＜0，g(a)在(0，4a88a4a4a 1 1 )单调递减，所以g(a)＞g()＝3－2ln2，即f(x1)?f(x2)?3?2ln2.． ?????12分 88
113?e?,?c?a,b?a已知函数f(x)?2lnx?ax2(a?R2). 13a)?F(?a,0) , 取 A(0,223333x?a322(1)求f(x)3的单调区间；(2)设g(x)?x?4x?2，若对任意x1?(0,??)，均存在x2??0,1?，
使得f(x1)?g(x2)1，求a的取值范围.
?kAF?2a?0?3?kAB???lAB:y??0?(?a)21ax?13?0)， 1解：(1)f'(x)?a?3?………………2分 (x(a,0)y?0?x?xa ??r?axB(a,0)222①当a?0时，由于x?0，故ax?1?0，f'(x)?0 ………………3分
d). ………………4分 ?x?3y?3?0(0,?? 所以，f(x)的单调递增区间为1a?310，得x??. ………………5分 ②当2时，由f'(x)?a?0?a?2d??aa?b?3211?f(x)?0在区间(0,?)上，，在区间(?,??)上f?(x)?0， 22axya??1?1143)的单调递增区间为所以，函数f(x(0,?)，单调递减区间为(?,??).
[来源:Zxxk.Com]
a?ny?x?1?2(3n2?4)y2?6ny?9??xy2?1·7· ??3?4(x1,y1)(x2,y2)a ………………7分
(x0,y0y1?y2?6n2,y1y2??92HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”
（2）由已知，转化为f(x)max?g(x)max. ………………8分
g(x)max?2 ………………9分
由(1)知，当a?0时，f(x)在(0,??)上单调递增，值域为R，故不符合题意.
(或者举出反例：存在f(e3)?ae3?3?2，故不符合题意.) ………………11分
11当a?0时，f(x)在(0,?)上单调递增，在(?,??)上单调递减，
aa故f(x)的极大值即为最大值，f(?)??1?ln(所以2??1?ln(?a)，解得a??已知函数f?x??1a1)??1?ln(?a)， ………14分?a[来源:Z&xx&k.Com]
1. ………15分 e313x??a?6?x??4?2a?lnx，g?x???x2?2x?b 3（Ⅰ）若a?2，求f?x?的单调区间；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，对?x1,x2??0,???，都有f?x1??g?x2?，求实数b的取值范围； （Ⅲ）若f?x?在?0,m?，?n,???上单调递增，在?m,n?上单调递减，求实数a的取值范围。
20.解： （Ⅰ）f(x)定义域为(0,??) 当a?2时，f(x)?x
13x?4x，f'(x)?x2?4，令f'(x)?0得x?2或x??2（舍） 3(2,??)（0，
2 0
+ ↗
- ↘
2）
f'(x)
f(x)
∴f(x)的递减区间为（0，2），递增区间为(2,??) ???4分 （Ⅱ）∵?x1,x2?(0,??)都有f(x1)?g(x2)成立
∴g(x)max?f(x)min ???5分
16 3 g(x)max?g(1)?1?b ???7分 g(x)??(x?1)2?1?b
1619∴1?b?? ∴b?? ???8分
33由（Ⅰ）知f(x)min?f(2)??
4?2ax3?(a?6)x?4?2a?（Ⅲ）f?(x)?x?(a?6)? ???9分 xx由条件知m,n恰为f?(x)?0的两个不相等正根，
2即x?(a?6)x?4?2a?0恰有两个不相等正根， ???10分
·8·
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对于方程a(x?2)?x3?6x?4?0显然x?2是方程的一个解， ???11分 当x?2时，a??x2?2x?2??(x?1)2?3(x?0且x?2)
2当x?0时，?x?2x?2?2
当x?2时，?x?2x?2??6 ???13分 ∴a?2且a??6 ???14分
已知函数f(x)?(2?a)lnx?21?2ax(a?R) x（1）当a?0时，求f(x)的极值 （2）当a?0时，求f(x)的单调区间
（3）若对任意的a?(?3,?2),x1,x2??1,3?，恒有(m?ln3)a?2ln3?f(x1)?f(x2)成立，求实数m的取值范围。
(1)当a?0,f(x)?2lnx?f'(x)?1x212x?1??(x?0) ……2分 xx2x2111x(0,)(,??)222f'(x)?0?f(x) ↘ 极小值 ↗ 11当x?时f(x)极小值?f()?2?lin2??5分 22无极大值2?a12ax2?(2?a)x?1(2)f'(x)??2?2a?(x?0)xxx21110当a?0时??(a?2)2的根?与a2?1111???当?a2即a??2时(0,?)和(,??)为减函数a2?a?0?11(?,)为增函数a2??12分
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?1120当???a?2即?2?a?0时(0,1)和(?1,??a?02a??)为减函数(12,?1a)为增函数30当?1a?12即a??2时(0,??)为减函数(3)当?3?a??2时f(x)在[1,3]上为减函数?|f(x21)?f(x2)|?f(1)?f(3)?3?4a?(a?2)ln3?(m?ln3)a?2ln3?|f(x1)?f(x2)|max?(m?ln3)a?2ln3?23?4a?(a?2)ln3???ma?2?4a?2?3???m??4??a?0?3a??3?a??2?m??13??18分
3设函数f(x)?1?a2x2?ax?lnx(a?R)。 （I）当a＝1时，求函数f（x）的极值；
（II）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性；
（III）若对任意a?（2,3）及任意x1,x2?［1,2］恒有ma＋ln2＞｜f（x1）－f（x2）｜成立，求实数m的取值范围。
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