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（i）求函数f(x)在A上的最大值；
（ii）若存在x1，x2?A，使得f(x1)?g(x2)?6成立，求实数a的取值范围．
(ii)对于函数g(x)?ax?9a?1，由于a?0，所以g(x)在?,3?上单调递减，
32?1???·21·
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已知函数f(x)?a1+lnx，g(x)?bx2?2x+2，a,b?R． x2 ⑴求函数f(x)的单调区间；
⑵记函数h(x)?f(x)?g(x)，当a?0时，h(x)在(0,1)上有且只有一个极值点，求实 数b的取值范围；
⑶记函数F(x)?f(x)，证明：存在一条过原点的直线l与y?F(x)的图象有两个切点．
a1x?a??2， 2xxx①若a≤0，则f?(x)≥0，f(x)在(0,??)上为增函数，??????????2分 ②若a?0，令f?(x)?0，得x?a，
当0?x?a时，f?(x)?0；当x?a时，f?(x)?0．
所以(0,a)为单调减区间，(a,??)为单调增区间． 综上可得，当a≤0时，(0,??)为单调增区间，
当a?0时，(0,a)为单调减区间， (a,??)为单调增区间． ?????4分
1（2）a?0时，h(x)?f(x)?g(x)?bx2?2x?2?lnx，
2（1）因为f?(x)??·22·
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1bx2?2x?1h?(x)?bx?2??， ????????????????????5分
xxh(x)在(0,1)上有且只有一个极值点，即h?(x)?0在(0,1)上有且只有一个根且不为重根， 由h?(x)?0得bx2?2x?1?0， ?????????????????????6分
1，满足题意；??????????????????????7分 2（ii）b?0时，b?12?2?1?1?0，即0?b?1；???????????????8分 （iii）b?0时，b?12?2?1?1?0，得b?1，故b?0；
综上得：h(x)在(0,1)上有且只有一个极值点时，b?1． ???????????9分 注：本题也可分离变量求得． （3）证明：由（1）可知：
（i）若a≤0，则f?(x)≥0，f(x)在(0,??)上为单调增函数，
所以直线l与y?F(x) 的图象不可能有两个切点，不合题意．????????10分 （ⅱ）若a?0，f(x)在x?a处取得极值f(a)?1?lna．
（i）b?0，x?若1?lna≥0，a≥时，由图象知不可能有两个切点．??????????11分
1e
1，设f(x)图象与x轴的两个交点的横坐标为s,t（不妨设s?t）， ea则直线l与y?F(x)的图象有两个切点即为直线l与y1???lnx,x?(s,t)和
xay2??lnx,x?(t,??)的切点．
xa1a?xa1x?a??2??2，y2???2??2， y1xxxxxx故0?a?设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2)，则0?x1?x2，且
a?x1x2?aa?x1y1x2?ay2alnx2alnx1?，，， ???????2x12x22x12x1x12x1x22x2x2x2即
2a?1?lnx1， ① x12a?1?lnx2， ② x2xx(x?x)a?122122，③
x1?x2①-②得：
x2a2a???lnx1?lnx2??ln1， x1x2x2由③中的a代入上式可得：(x122x1x2(x1?x2)?)??ln， x1x2x12?x22x22(x12?x22)x1?ln即， ???????????????????????14分 22x1?x2x2令
x1?k(0?k?1)，则(k2?1)lnk?2k2?2，令G(k)?(k2?1)lnk?2k2?2(0?k?1)，因为x2·23·
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1314G()?1?2?0，G(2)??4?0， eeee故存在k0?(0,1)，使得G?k0??0，
即存在一条过原点的直线l与y?F(x)的图象有两个切点．????????16分
设f(x)?ex(ax2?x?1)．
(Ⅰ)若a?0，讨论f(x)的单调性； （Ⅱ）x?1时，f(x)有极值，证明：当???0,x2x???时，f(cos?)?f(sin?)?2. ?2??x解：（1）f?(x)?e(ax?x?1)?e(2ax?1)?ae(x?当a?
1)(x?2) 3分 a11x2时，f?(x)?e(x?2)?0，f(x)在R上单增； 4分 22111时，f?(x)?0?x??2或x??， f?(x)?0???x??2
a2a当0?a??1??1?f(x)在???和上单调递增，在?2,????,???,?2?上单调递减。 5分 ??a?a??当a?
111时，f?(x)?0?x??或x??2， f?(x)?0??2?x?? 2aa?1??1?f(x)在???,?2?和??,???上单调递增，在??2,??上单调递减。 6分 ?aa???（2）?x?1时，f(x) 有极值， ?f?(1)?3e(a?1)?0?a??1 7分
?f(x)?ex(?x2?x?1) f?(x)??ex(x?1)(x?2)
f?(x)?0??2?x?1 ?f(x)在??2,1?上单增。 10分
???????0,? ?sin?,cos???0,1?
?2??f(cos?)?f(sin?)?f(1)?f(0)?e?1?2 12分
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