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已知函数f(x)?ax?
332x?1(x?R)。其中a>0。 2·11·
（I）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在（2，f（2））处的切线方程；
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（II）若在区间［－
11，］上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围。 22·12·
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已知定义在R上的函数f(x)?x2(ax?3)，其中a为常数．
（1）若x=l是函数f（x）的一个极值点，求a的值； （2）若函数g（x）=f（x）+f’（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围．
已知函数
a3112f?x??x??a?1?x?x? (a?R)．
323(1) 若a?0，求函数f?x?的极值； （2）是否存在实数a使得函数f?x?在区间
不存在，说明理由。 解：(1)
?0,2?上有两个零点，若存在，求出a的取值范围；若
1??f??x??ax2??a?1?x?1?a?x?1??x?? ??????2分
a??1?a?0,??1，
a 1????,?? a??1 a0 ·13·
?1??,1? ?a?1 ?1,??? - f??x? - + 0 HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）” f?x? 递减 极小值 递增 极大值 递减 ??????????4分
21?1??2a?3a?1f?x?极小值=f??=，f?x?=f?1?=??a?1?????6分 2极大值6a6?a?21?1??2a?3a?1??a-1??2a-1?f??==，f1=????a?1? 226a6a6?a?（2）
f?2?=11?2a?1?， f?0?=?<0 ?????8分 3311时，f?x?在?0,1?上为增函数，在?1,2?上为减函数，f?0?=?<0，23① 当a?f?1?=?11?a?1?>0，f?2?=?2a?1??0，所以f?x?在区间?0,1?，?1,2?上各有一个63零点，即在
?0,2?上有两个零点； ??????????10分
② 当
1?1??1?
，
1f?0?=?<03f?2?=1f?1?=??a?1?>06，
?1???a-1??2a-1?f??=>026a?a?，
1?2a?1?>0，所以f?x?只在区间?0,1?上有一个零点，故在?0,2?上只有一3个零点； ??????????12分 ③ 当a>1时，
f?x?在
?1??1?0,上为增函数，在?,1?上为减函数，?1,2?上为增函数，??a???a?，
1f?0?=?<03，
?1???a-1??2a-1?f??=<026a?a?f?1?=?1?a?1?<06，
1f?2?=?2a?1?>0， 所以f?x?只在区间?1,2?上有一个零点，故在?0,2?上只有一个零
3点； ??????????13分
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故存在实数a，当a?1时，函数f?x?在区间?0,2?上有两个零点。???????14分 2已知函数f(x)?x3?3ax2?9a2x(a?0)． （1）当a=l时，解不等式f(x)?0；
（2）若方程f(x)?121nx?6ax?9a2?a在【l，2】恰好有两个相异的实根，求实数a的取值
范围（注：1n2≈0.69）：
（3）当a>0时，若f(x)在【0，2】的最大值为h(a)，求h(a)的表达式。
解（1）当a?1时，f(x)?x3?3x2?9x?0，x(x2?3x?9)?0，解得
3?35?x?0或2x?3?35．………………………2分 2（2）由f'(x)?12lnx?6ax?9a2?a得a?12lnx?3x2，令m(x)?12lnx?3x2，则
m'(x)?1212?6x，当m'(x)??6x?0时，x?2．……………4分
xx当x?[1,2)时，m'(x)?0，此时m(x)递增；当x?(2,2]时，m'(x)?0，此时m(x)递减；所以m(x)max?g(2)?6(ln2?1)，…………6分
又因为m(1)??3，m(2)?12(ln2?1)??3，所以当x?[1,2]时，m'(x)?12lnx?6ax?9a2?a恰好有两个相异的实根实数的取值范围为?3?a?6(ln2?1)．……………8分
已知f(x)=x+asinx．
（Ⅰ） 若a=2，求f(x)在?0,??上的单调递减区间； （Ⅱ）若f(x)在???????上为增函数，求实数a的取值范围； （Ⅲ）当常数a?0时，设g(x)?f(x)??5?，求g(x)在?，x?66?上的最值． ??解：（Ⅰ） 当a=2时，f(x)=x+2sinx 所以f?(x)=1+2cosx …．………………．1分
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