题2?1(f)图及题解2?1(f)图
k2?fx?kx?kx?x?x2?323223sf?k ?2?k2x2?k1x2?k1x1?k2x3?(k1?k2)x2?k2k2x2?k1x1
sf?k2(k1?k2)sf?k1k2x2?k1x1
sf?k2fs?1x2k1(sf?k2)k2?? x1(k1?k2)sf?k1k2k1?k2fs?1k1k22-2. 图2-56所示水箱中，Q1和Q2分别为水箱的进水流量和用水流量，被控量为实际水面高度
H。试求出该系统的动态方程。假设水箱横截面面积为C，流阻为R。
解：H?1(Q1?Q2)dt C?Q2?aH
a——系数，取决于管道流出侧的阻力，消去中间变量Q2，可得
CdH?aH?Q1 dt假定系统初始处在稳定点上，这时有：Q10?Q20?Q0，H?H0，当信号在该点附近小范围变化时，可以认为输出?2与输入H的关系是线性的，。即
?Q2?Q0??Q2??H?H0??H ?Q?Q??Q01?1??H?1(?Q1??Q2)dt ?C?Q2?dQ2dH1H?H0?2??0?H?1?H RR?dQ2dH?2H0_________流阻 Q0H?H0?2??0d?H??H?R?Q1 dtdH?H?RQ1 有时可将?符号去掉，即CRdtCRH(s)R ?Q1(s)CRs?12-3 求图2-57信号x(t)的象函数X(s)。 解：
(a)?x(t)?2?(t?t0)
?X(s)=
21?t0s?e ss2?0(b)X(s)??X(t)e?tsdt
??te?tsdt??0?dt
0t0t0?1t0?tstd(e) ?0st01??tst0??te??e?tsdt?
0?0??s???
1?1t0????t0e?t0s??d(e?ts)?
s?s0?
1?1???t0e?t0s?e?tss?s?t0?? 0??
1?1????t0e?t0s?(e?ts?1)?
s?s??11?2(1?t0s)e?t0s 2ss
(c)?x(t)=
44T4T4t?(t?)?(t?)?(t?T) 22222T2TTT?Ts4 ? X(s)?22(1?2e2?e?Ts)
Ts2-4. 用拉氏变换求解下列微分方程（假设初始条件为零）
?(t)?x(t)?r(t) 1.Tx其中
r(t)分别为?(t)，1(t)和t21(t)。
?(t)?x?(t)?x(t)??(t) x2.??(t)?2x?(t)?x(t)?1(t) x3.?解：
1.Tx(t)?x(t)?r(t)
X(s)?1R(s) Ts?1r(t)??(t),R(s)?1
11X(s)??T
Ts?1s?1T1t1?TX(t)?e
T1r(t)?1(t),R(s)?
s1?s?s111 X(s)??T??11s(Ts?1)s(s?)ss?TTX(t)?1?e1?tT
r(t)?t?1(t),R(s)?1 s211?s?s?s?s11T1 X(s)??2??2?TT11Ts?1ss2(s?)ss(s?)TT111?2?T(?)
1sss?TX(t)?t?T(1?e1?tT)
2-5. 一齿轮系如图2-58所示。Z1、Z2、Z3 和Z4分别为齿轮的齿数；J1、J2和J3分别表示 传动轴上的转动惯量；?1、?2和?3为各转轴的 角位移；Mm是电动机输出转矩。试列写折算到 电机轴上的齿轮系的运动方程。
解：
M1Z1?, M2Z2M3Z3ZZ??M1?1M2,M3?3M4 M4Z4Z2Z4d?1Z2Z??d?2?1d?1 d?2Z1Z2Zd?2Z4ZZ??d?3?3d?2?4?1d?1d?3Z3Z4Z3Z2d?1?M?M?J?11?mdt?d?2?M?M?J??232dt?d?3?M?J?3?4dt?
Mm?M1?J1d?1Z1d?Zd?d??M2?J11?1(M3?J22)?J1 dtZ2dtZ2dtdt??Z1Z3d?d?(M4?J22)?J11Z2Z4dtdtd?Z1Z3d?d?(J33?J22)?J11Z2Z4dtdtdtZ12Z32d?1Zd?d?)()?J2(1)21?J11Z2Z4dtZ2dtdt
?J3([J3(Z12Z32Zd?)()?J2(1)2?J1]1?Mm Z2Z4Z2dt
2-6 系统的微分方程组如下：
x1(t)?r(t)?c(t)?n1(t)
x2(t)?K1x1(t)
x3(t)?x2(t)?x5(t)
Tdx4?x3(t) dtx5(t)?x4(t)?K2n2(t)
d2cdcK0x5(t)?2?
dtdtT均为大于零的常数。其中K0、K1、K2、试建立系统的结构图，并求传递函数
C(s)C(s)、R(s)N1(s)及
C(s) N2(s)解：
x1(t)?r(t)?c(t)?n1(t)x2?K1x1x3?x2?x5dx4?x3dtx5?x4?K2n2Td2cdcK0x5?2?dtdt求
X1(s)?R(s)?C(s)?N1(s)X2(s)?K1X1(s)X3(s)?X2(s)?X5(s)?1X3TsX5?X4?K2N2(s)X4?C(s)?K0X5s2?s
C(s) 令N1(s)?0,N2(s)?0 R(s)消去中间变量，得
K0K1C(s) ?R(s)s(s?1)(Ts?1)?K0K1求
C(s) 令R(s)?0,N2(s)?0 N1(s)消去中间变量得
K0K1C(s) ?N1(s)s(s?1)(Ts?1)?K0K1