系统有三个开环极点和一个开环零点。 根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹：
???20,0?
??
?② 起始角：??180?45?90?135?0?
根轨迹如图解4-4(b)所示。
4-5、已知系统如图4-26所示。作根轨迹图，要求确定根轨迹的出射角和与虚轴的交点。并确定使系统稳定的K值的范围。
1Ks(s?2)K?解：G(s)?? 22s1?s(s?2s?2)s(s?2)?K
s(s?1?j1)(s?1?j1)n?3有3条根轨迹，且3条全趋于无穷远处。
①实轴上：(??,0]
?1?j1?1?j12???????a33②渐近线：?
?????,?a?3?③出射角：0?(?p1?135?90)?(2k?1)?
00?p??4501图解4-5
?p?4520④与虚轴交点：
D(s)?s3?2s2?2s?K?0D(j?)??j??2??j2??K?02??Re[D(j?)]??2??K?0则有? 3??Im[D(j?)]????2??032
解得：??????2 ??K?4∴使系统稳定的K值范围为0?K?4
4-6、已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试画出概略根轨迹图。
（1）
K* G(s)?s(s?5)（2）
K*(s?4) G(s)?s(s?5)（3）
K*(s?20)K*解：（1）G(s)? G(s)?s(s?5)s(s?5)解：（1）G(s)?K*s(s?5)
n?2，有2条根轨迹且全趋于无穷远处。
①实轴上：[?5,0]
?????5a?②渐近线：?2?
????a??2③分离点：
1d?1d?5?0 d??52
（2）G(s)?K*(s?4)s(s?5)
n?2有2条根轨迹，其中1条趋于无穷远处。实轴上[?4,0],[??,?5]。
（3）G(s)?K*(s?20)s(s?5)
n?2有2条根轨迹，且1条趋向无穷远处。
①实轴上：(??,?20],[?5,0] ②分离点：
1d?1d?5?1d?20 d2?40d?100?D
d1??2.68,d2??37.32
图解4-6(1)
图解4-6(2)
图解4-6(3)
图解4-6
4-7、设系统开环传递函数
G(s)?20
(s?4)(s?b)试作出b从0??变化时的根轨迹。
解：做等效开环传递函数
G(s)??b(s?4)
s2?4s?20① 实轴上的根轨迹：(??,?4] ② 分离点：
111 ??d?2?j4d?2?j4d?4图解4-7 根轨迹图 解得：d1??0.472(舍去)，d2?8.472
如图解4-7所示，根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到开环极点的距离为半径的圆。
4-8、设系统的闭环特征方程
s2(s?a)?K(s?1)?0
(a?0)
（1） 当a?10时，作系统根轨迹，并求出系统阶跃响应分别为单调、阻尼振荡时（有
复极点）K的取值范围。
（2） 若使根轨迹只具有一个非零分离点，此时a的取值？并做出根轨迹。 （3） 当a?5时，是否具有非零分离点，并做出根轨迹。 解：D(s)?s(s?a)?K(s?1)?0（1）a?10
2(a?0)
D(s)?s2(s?10)?K(s?1)?0
做等效开环传递函数G(s)?*K(s?1)
s2(s?10)n?3有3条根轨迹，有2条趋向无穷远处。
①实轴上：[?10,?1]
?10?19???????a22②渐近线：?
?????a??2图解4-8(1)
③分离点：解得：
211?? dd?10d?1d1??2.5 d2??4
d1d1?10Kd1??31.25
d1?1dd2?10Kd2?2?32
d2?1当31.25?K?32时系统阶跃响应为单调。
当0?K?31.25及K?32时系统阶跃响应为阻尼振荡。 （2）D(s)?s2(s?a)?K(s?1)?0
22G*(s)?K(s?1)
s2(s?a)211?? dd?ad?1分离点：
2d2?(a?3)d?2a?0
?(a?3)?(a?3)2?16a d?22要使系统只有一个非零分离点，则(a?3)?16a?0即a?9，a?1（舍去）
（3）a?5
D(s)?s2(s?5)?K(s?1)?0
作等效开环传递函数G(s)?*图解4-8(2)
K(s?1)
s2(s?5) n?3有3条根轨迹其中2条趋向无穷远处 ①实轴上：[?5,?1]
?5?1?????2??a2②渐近线：?
?????a??2③分离点：
图解4-8(3)
211?? dd?5d?1d2?4d?5?0
无解，故无分离点。
4-9、试作图4-27所示系统K从0??时的系统根轨迹图，并确定使系统稳定的K值范围。
解 根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹： ?0.5,7/4? ② 渐近线：
?1?1?7/4?(?0.5)1??????a24 ?
???(2k?1)????a?22?③ 与虚轴交点：闭环特征方程为
D(s)?431210s?s?(2K?)s?K?1?0 777把s?j?代入上方程，令
12?Re(D(j?))?K?1???0?7 ?1043?Im(D(j?))?(2K?)????077?图解4-9 根轨迹图 ????2?解得： ? ， ?9
K?1??K?7????0根轨迹如图解4-9所示。由图解4-9可知使系统稳定的K值范围为 1?K?97。
4-10、做出图4-28所示系统的根轨迹，图中H(s)分别为
（1） （2） (3)
H(s)?1 H(s)?s?1
H(s)?s?3
解：